1、131.2 圆柱、圆锥、圆台和球课程标准1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构基础认知自主学习【概念认知】1圆柱的结构特征(1)定义：将矩形绕着它的_旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱如图所示，这条直线叫作圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆柱OO.一边所在的直线2圆锥的结构特征(1)定义：将直角三角形绕着它的_旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥如图所示，这条直线叫作圆锥的轴垂
2、直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆锥SO.一直角边所在的直线3圆台的结构特征(1)定义：将直角梯形绕着它_所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台如图所示，这条直线叫作圆台的轴垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆台OO.垂直于底边的腰4球的结构特征(1)定义：半圆绕着它的_旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球如图所示，半圆的圆心叫作
3、球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径，连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径(2)表示方法：用表示球心的字母来表示，如球O.直径所在的直线5旋转体的定义一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条_旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体定直线6简单组合体的结构特征由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体裁去或挖去一部分组成【自我小测】1下面空间图形的截面一定是圆面的是()A圆台 B球 C圆柱D棱柱【解析】选B.截面可以从各个不同的部位截取
4、，截得的截面都是圆面的几何体只有球2正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A圆柱 B圆锥 C圆台 D两个圆锥【解析】选D.连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥3给出下列命题：圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的其中正确的是()A B C D【解析】选D.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知正确，错误4已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面半径
5、为_【解析】设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得2r2rQll解得r Q2.所以此圆柱的底面半径为 Q2.答案：Q25观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是_(填序号).【解析】可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，可看作由两个四棱柱组合而成答案：6下列说法正确的是_(填序号).以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180形成的曲面围成的几何体是圆锥；球面上四个不同的点一定不在同一平面内；球的半径是球面上任意一点和
6、球心的连线段【解析】以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；它们的底面为圆面；正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故错误；根据球的半径定义，知正确答案：7如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程，受到平面内两点之间线段最短的启发，需要将圆柱进行展开，使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，展开成为平面图形矩形，示意图如图，连接AB，则AB即为
7、蚂蚁爬行的最短距离因为ABAB2，AA为底面圆的周长，且AA212，所以ABAB2AA2 4（2）2 212.故蚂蚁爬行的最短距离为212.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形的形状为()A一个球体B一个球体中间挖出一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体【解析】选B.圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱2若圆柱被平面截成如图所示的空间图形，则它的侧面展开图是()【解析】选D.结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误3下列命题中正确的是()
8、A直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D通过圆台侧面上一点，有无数条母线【解析】选C.A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线4下列几何体是台体的是()【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义
9、可知D正确5如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的()【解析】选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，结合选项可知A选项正确二、填空题6关于圆台，下列说法正确的是_两个底面平行且全等；圆台的母线有无数条；圆台的母线长大于高；两底面圆心的连线是高【解析】圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则不正确，正确答案：7用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：_(填序号).棱柱；棱锥；棱台；圆柱；圆锥；圆台；球【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥答案：三、解答题8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，求该圆锥的高【解析】设圆锥的底面半径为r
10、，母线长为l，则4l2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r2，所以底面圆半径r1，所以该圆锥的高为h22rl2212 3.9已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径【解析】如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则r21 5，r22 8，所以r21 5，r22 8，又因为R2r21 d21 r22 d22，所以d21 d22 853，即(d1d2)(d1d2)3.又d1d21，所以d1d23，d1d21，解得d12，d21.所以Rr21 d21 54 3，即球的半径等于3
11、.【综合突破练】一、选择题1上、下底面面积分别为36和49，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A4 B3 2 C2 3 D2 6【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2h2(Rr)2，求得h2 6，即两底面之间的距离为2 6.2若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的母线长为()A4 B2 C3 D 6【解析】选B.如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABC 34 AB2，所以 3 34 AB2，所以AB2.二、填空题3在RtABC中，AB3，BC4，ABC90，则ABC绕边AB所在
12、的直线旋转一周所得空间图形是_，母线长l_【解析】所得几何体是圆锥，母线长lACAB2BC2 3242 5.答案：圆锥 54一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，则圆台的高为_【解析】由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由题意知，腰长为12 cm，所以高AM122（52）2 3 15(cm).答案：3 15 cm5圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两部分的比为_【解析】将圆台还原为圆锥，如图所示O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2h，O2O1h1，O
13、1Oh2，则hh1h491215，hh1h2h4917，所以h14h，h22h，即h1h221.故圆台的高被截面分成的两部分的比为21.答案：21三、解答题6如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个空间图形，试描述该空间图形的结构特征【解析】如图所示，旋转所得的空间图形是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体7已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长【解析】作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线设正方体的棱长为x，则DGEFx，DEGF 2 x.依题意，得ABCADE，所以 hhx 2r2x，所以x2rhh 2r，即此正方体的棱长为2rhh 2r.