1、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握两数乘向量的坐标运算法则(重点)2.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法(重点)4.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养.2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养.贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为505 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：贝贝：5055055055051 0105055051 5155052 020
2、(km)晶晶：50542 020(km)可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给这类问题的解决带来了很大的方便问题：(1)当ab时，a，b的坐标成比例吗？(2)a与a的坐标有什么关系？1数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a(x，y)，则a(x，y)(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标2平面向量共线的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线的充要条件是存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，向量a，b(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10.思考：两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线
3、的坐标条件能表示成吗？提示不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y20时，才能使用1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则.()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y1，则a与b不共线()(3)若A，B，C三点共线，则向量，都是共线向量()答案(1)(2)(3)2 .已知P(2,6)，Q(4,0)，则PQ的中点坐标为_(1,3)根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(1,3)3已知a(3,2)，b(6，y)，且ab，则y_.4ab，3y260，解得y4.4若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y
4、)三点共线，则y_.9(8,8)，(3，y6)，A，B，C三点共线，即，8(y6)830，解得y9.向量共线的判定与证明【例1】(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)DA中，26340，B中33220，C中114(2)70，D中(3)(4)260.故选D(2)解(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2)又22410，.又(2,6)，(2,4)，24260，A，B
5、，C不共线，AB与CD不重合，ABCD向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减跟进训练1已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线证明，(91，13)(8,4)，7480，且，有公共点A，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解法一：(共线向量定理法)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平
6、行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向法二：(坐标法)由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)，所以当k时，kab与a3b平行，并且反向利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解跟进训练2已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，则_.由题可得2ab(4,
7、2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.向量共线的综合应用【例3】(1)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)，且ab，则2sin cos 等于()A3B3CD(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标(1)C因为ab，所以cos 1(2)sin 0，即cos 2sin ，tan ，所以2sin cos .(2)解法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)，(2,6)由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二：(坐标法)设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且
8、与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟进训练3.如图所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解因为(0,5)，所以C.因为(4,3)，所以D.设M(x，y)，则(x，y5)，.因为，所以x2(y5)0，即7x4y20.又，因为，所以x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.共线向量与线段分点坐标的计算探究问题1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐
9、标？提示如图所示，P为P1P2的中点，()，线段P1P2的中点坐标是.2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？提示点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时，()；当时，().3当(1)时，点P的坐标是什么？提示：()，(x1，y1)(x2，y2)，P.【例4】已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标思路探究点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论. 解设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P
10、点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为(5,8)综上所述，点P的坐标为或(5,8)1若将本例条件“|2|”改为“3”其他条件不变，求点P的坐标解因为3，所以(x3，y4)3(1x，2y)，所以解得所以点P的坐标为.2若将本例条件改为“经过点P(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|3|”，求点A，B的坐标解由题设知，A，B，P三点共线，且|3|，设A(x,0)，B(0，y)，点P在A，B之间，则有3，(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)点P不在A，B之间，则有3，同理，可求得点A，B的坐标分
11、别为，(0，9)综上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)或，(0，9)求点的坐标时注意的问题(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为.(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论(3)若(0)，01时，P在线段P1P2上；1时，P与P2重合；1时，点P在线段P1P2延长线上；0时，点P在线段P1P2反向延长线上一、知识必备两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两
12、向量的相应坐标成比例二、方法必备向量共线的问题常涉及两个方面1已知两个向量的坐标或四个点的坐标，判断三点(或两个向量)是否共线一般先利用向量的坐标运算求出需要判断的平面向量的坐标，再依据下面的结论来判断向量是否平行：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，且b0，若x1y2x2y10，则ab.2已知向量共线求参数解题时要注意方程思想的运用，向量共线、向量相等都可以作为列方程的依据证明或判断三点共线、两直线平行时要注意联系平面几何的相关知识由向量共线求参数的问题中，参数的设置一般有两种：一是向量的坐标本身含有参数；二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表
13、示的两种形式，建立方程(组)求解1下列各对向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(，1)，b(1，)Da(1，)，b(，2)DA，B，C中各对向量都不共线，D中ba，两个向量共线2已知两点A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是()A(1，2)B(9,3)C(2,4)D(4，8)D由题意，得(1,2)，所以a(，2)(其中0)符合条件的只有D项，故选D3与向量a(3,4)平行的单位向量是_或设与a平行的单位向量为e(x，y)，则 或 4已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于_(4，8)ab，1m(2)20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)5设O是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，若A，B，C三点共线，则k_.2或11(4k，7)，(10k，k12)，又A，B，C三点共线，由两向量平行，得(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或k11.即当k2或k11时，A，B，C三点共线
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