1、6.3球的表面积和体积学 习 目 标核 心 素 养1.了解球的结构和性质(重点)2了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. (重点)3会解决与球有关的切、接问题(重点、难点)1.通过对球的结构和性质的学习，培养学生直观想象素养2. 通过利用球的表面积和体积公式计算球的表面积和体积，培养学生数学运算素养.1球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆(2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则OP，即此时截线是以O为圆心，以r为半径的球的小圆
2、2球的切线(1)定义：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所有切线的切线长都相等思考：1.半径为R的球O的切线AP的切点为P，AP、R和AO三者之间有什么关系？提示：AO2AP2R23球的表面积与体积公式条件球的半径为R表面积公式S球面4R2体积公式V球R3思考：2.球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？提示：球的表面积等于它的大圆面积的4倍1若球的大圆的周长是C，则这个球的表面积是()ABCD2C2C由2RC，得R，S球面4R2.2若一个球的直径是10 cm，则它的体积为_cm3.由题意知其半径为R5(cm
3、)，故其体积为VR353(cm3)3若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍84球的半径为R时，球的体积为V1R3，表面积为S14R2，半径增加为2R后，球的体积为V2(2R)3R3，表面积为S24(2R)216R2.所以8，4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍球的表面积和体积【例1】直径长为6的球的表面积和体积分别是()A36，144B36，36C144，36D144，144B球的半径长为3，表面积S43236，体积V3336.故选B(1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.(2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.1球的体
4、积是，则此球的表面积是()A12B16CDB设球的半径为R，则由已知得R3，解得R2.故球的表面积S表4R216.球的截面问题【例2】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A cm3B cm3C cm3 D cm3A如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5.V球53(cm3)球截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注
5、意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.2一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A cm3B cm3C cm3D cm3C根据球的截面的性质，得球的半径R5(cm)，所以V球R3(cm3)与球有关的切、接问题探究问题1若一个球内切于某个多面体的面，如何求出球的半径？提示：若一个球内切于某个几何体，则连接切点和球心的直线垂直于这个多面体的面，构造直角三角形，即可求出球的半径2若一个球外接于某个多面体，如何求出球的半径？提示：若一个球外接于某个多面体，则连接球心和多面体的顶点就是球的半径，一般是找到截面，把
6、问题平面化求解【例3】已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的直径为()AB2C13D3思路点拨C因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB3，AC4，BC5，BC113，所以球的直径为13.1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由
7、题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的
8、距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解(其R为球的半径).1球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决2要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者
9、通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解3处理与球有关的问题应注意下面几点：(1)截面问题R2d2r2(d为球心到截面的距离，r是截面圆的半径)(2)接、切问题确定球心的位置，球心到接、切点的距离等于球的半径(3)轴截面问题球是旋转体，轴截面通常是解决问题的平台1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个球的半径之比为12，则其体积之比为14()(2)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面()(3)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()提示：(1)错误两个球的半径之比为12，则其体积之比为18.(2)正确(3)正确答案(1)(2)(3)2把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()ARB2R C3RD4RD设圆柱的高为h，则R2h3R3，得h4R.3设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A B C4 D32C由题意可知，6a224，a2.设正方体外接球的半径为R，则a2R，R，V球R34.4(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积解(1)设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR343.(2)设球的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.
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