1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时平面与平面垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.掌握平面与平面垂直的判定定理(重点)2掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系(难点)1.通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养2通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l，l思考：1.若两个平面所成的二面角为90，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行
2、B可能重合C相交且垂直D相交不垂直C由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C2对于直线m，n和平面，能得出的一组条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，nCA与D中也可与平行，B中不一定，故选C3如果规定：xy，yz，则xz，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面，关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是_平行由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性平面与平面垂直的判定【例1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABC
3、D，BE2DF，AEEC证明：平面AEC平面AFC证明如图，连接BD，设BDAC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC又AEEC，所以EG，且EGAC在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC (1)证明平面与平面垂直的方法利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂
4、线，则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.1在边长为a的菱形ABCD中，ABC60，PC平面ABCD，求证：平面PDB平面PAC证明PC平面ABCD，BD平面ABCD，PCBD四边形ABCD为菱形，ACBD，又PCACC，BD平面PACBD平面PBD，平面PDB平面PAC空间垂直关系的综合应用探究问题1空间中线、面的垂直关系是如何转化的？提示：转化关系如下：2证明直线与直线垂
5、直的方法有哪些？提示：(1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，侧面PAD为等边三角形(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论思路点拨(1)(2)解(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图因为PAD为等边三角形，所以PGAD在菱形ABCD中，BAD60，G为AD的中点，所以BGAD又因为BGPGG，所以AD平面PGB因为PB平面PGB，所以ADPB(2)当F为PC的
6、中点时，满足平面DEF平面ABCD如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在PBC中，EFPB在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB由(1)，得AD平面PGB，而AD平面ABCD，所以平面PGB平面ABCD所以平面DEF平面ABCD(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对
7、于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.2如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：无论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?解(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCDCDBC，ABBCB，CD平面ABC又(01)，无论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC又EF平面BEF，无论为何值，总有平面BEF平面ABC(2)由(1)知BEEF，平面BEF平面ACD，平面BEF平面ACDEF，BE平面ACD又AC平面ACD，BEACBCCD1，BCDABD90，ADB60
8、，BD，ABtan 60，AC.由RtAEBRtABC，得AB2AEAC，AE，.故当时，平面BEF平面ACD平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化()(2)已知，是平面，且，若，则()(3)已知，是平面，且，若，则()提示(1)正确(2)错误和可能平行，也可能相交(3)正确答案(1)(2
9、)(3)2如图，BCDE是一个正方形，AB平面BCDE，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有()A4组B5组C6组D7组B由AB平面BCDE，可得平面ABC平面BCDE，平面ABE平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC平面ABE平面ABC平面ABE，同理可得平面ACD平面ABC，平面ADE平面ABE，故共有5组，故选B3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是_(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直如图，在正方体中，CC1平面ABCD，CC1BD又ACBD，CC1ACC，BD平面AA1C1C又BD平面EBD，平面EBD平面AA1C1C4如图，在圆锥PO中，AB是O的直径，C是上的点，D为AC的中点证明：平面POD平面PAC证明如图，连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD又PO底面ABC，AC底面ABC，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC- 7 - 版权所有高考资源网
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