1、第3讲平面向量高考定位1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟 1.(2016北京卷)设a，b是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析若|a|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，ab，ab表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立；反之，若
2、|ab|ab|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|b|不一定成立，所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件.答案D2.(2016山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A.4 B.4 C. D.解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故选B.答案B3.(2016全国卷)设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120
3、，得m2.答案24.(2016浙江卷)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_.解析法一由已知可得：|ae|be|aebe|(ab)e|由于上式对任意单位向量e都成立.|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.法二由题意，令e(1，0)，a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，则由|ae|be|可得|cos |2|cos |.令sin 2sin m，22得4|cos cos |sin sin 1m2对一切实数，恒成立，所以4|cos cos |sin sin 1.故ab2(cos cos s
4、in sin )2|cos cos |sin sin .答案考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)
5、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是().(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心0G.热点一平面向量的有关运算 微题型1平面向量的线性运算【例11】 (1)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为
6、_.解析(1)()，12，1，2，故12.(2)法一如图，所以2222cos 1201，解得2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，21，解得2.答案(1)(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.微题型2平面向量的坐标运算【例12】 (1)(2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A.8 B.6C.6 D.8(2)(2016全国卷)已知向
7、量，则ABC()A.30 B.45C.60 D.120解析(1)由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8，故选D.(2)|1，|1，cosABC，则ABC30.答案(1)D(2)A探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.微题型3平面向量数量积的运算【例13】 (1)(2016郑州二模)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B.1C. D.2(2)(2016佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知A
8、BDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.解析(1)设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc|.法一如图.c(x，y)对应点在上，而式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.法二|abc|，xy1，|abc|1，最大值为1.(2)法一在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 6021cos 60cos 1202，当且仅当，即时，取得最小值为.法二
9、以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.又，则E，F，0，所以2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.答案(1)B(2)探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用|a|求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(
10、2015福建卷)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21(2)(2016青岛二中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_.解析(1)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，P(1，4)，(1，t4)1717213，当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13，故选A.(2)法一以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB、AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，设F(x，2)，则(x，2)，又(，0)，x
11、，x1，F(1，2)，又E(，1)，则(，1)，(1，2)，.法二|cos BAF，|，|cos BAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.答案(1)A(2)热点二平面向量与三角的交汇【例2】 (2016江西红色七校第二次联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m(sin C，b2a2c2) ，n(2sin Asin C，c2a2b2)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设Tsin2Asin2Bsin2C，求T的取值范围.解(1)，因为sin C0，所以sin Bcos C2sin Acos Bsin Ccos B，所以2sin Acos Bsin Bcos Cs
12、in Ccos Bsin(BC)sin A，因为sin A0，所以cos B，因为0B，所以B.(2)Tsin2Asin2Bsin2C(1cos 2A)(1cos 2C)(cos 2Acos 2C)cos.因为0A，所以02A，故2A，因此1cos，所以T.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求
13、解.【训练2】 (2016甘肃诊断)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且pq.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解(1)因为pq，所以pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，即sin2Bcos2B2sin2B20，即sin2B，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sin B，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为，所以SABCacsin B，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accos B
14、，又b2，所以a2c28，联立，解得ac2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，
15、不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.设a，b是两个非零向量.()A.若|ab|a|b|，则abB.若ab，则|ab|a|b|C.若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD.若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析对于A，可得cosa，b1，因此ab不成立；对于B，满足ab时|ab|a|b|不成立；对于C，可得cosa，b1，因此成立，而D显然不一定成立.答案C2.已知点A(1，1)、B(1，2)、C(2，1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C. D.解析(2，1)，(5，5)，|5，故在方向上的投影为 .答案A3.已知a与b均为单位向量，其夹角
16、为，有下列四个命题p1：|ab|1p2：|ab|1p3：|ab|1p4：|ab|1其中的真命题是()A.p1，p4 B.p1，p3C.p2，p3 D.p2，p4解析|a|b|1，且0，若|ab|1，则(ab)21，a22abb21，即ab，cos ab，；若|ab|1，同理求得ab，cos ab，故p1，p4正确，应选A.答案A4.若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量b与ab的夹角为()A. B. C. D.解析法一由已知，得|ab|ab|，将等式两边分别平方，整理可得ab0.由已知，得|ab|2|a|，将等式两边分别平方，可得a2b22ab4a2.将代入，得b23a2，即|
17、b|a|.而b(ab)abb2b2，故cosb，ab.又b，ab0，所以b，ab.故选A.法二如图，作a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.由|ab|ab|2|a|，可得|2|，所以平行四边形OACB是矩形，a.从而|2|.由RtBOC中，|故cosBOC，所以BOC.从而b，abBOC，故选A.答案A5.(2014浙江卷)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2解析由
18、三角形法则知min|ab|，|ab|与min|a|，|b|的大小不确定，由平行四边形法则知，max|ab|，|ab|所对角大于或等于90，由余弦定理知max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选D.答案D二、填空题6.ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号).a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解析24|a|24，|a|1，故正确；(2ab)2ab，又ABC为等边三角形，|b|2，故错误；b，ab()22cos 602210，故错误；b，故正确；()()22440，(4ab)，故正确.答案7.如图，在AB
19、C中，C90，且ACBC3，点M满足2，则_.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以(2，1)(0，3)3.法二()22()23.答案38.已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2，若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析不妨设bxe1ye2，则be1x1，be2y1，因此可得xy，所以|b|e1e2|.答案三、解答题9.已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值.解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以
20、cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f(x)2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾.综上所述.10.设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值.解(1)由|a|2(sin
21、x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.11.ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行. (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面积.解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.