1、第2课时直线与平面垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)2会用直线和平面垂直的判定定理解决相关的问题(重点、难点)1.通过对直线与平面垂直的判定定理的发现，培养学生数学抽象素养2通过利用直线与平面判定定理证明线面垂直，培养学生逻辑推理素养.直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言a，b，la，lb, abAl图形语言思考：1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？提示：当这两条直线平行时，直线可与平面相交，但不一定垂直2如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么
2、另一条也垂直于这个平面吗？提示：垂直1空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A平行B垂直C相交D不确定B由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB2直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A平行B垂直C在平面内D无法确定D当平面内的两条直线相交时，直线l平面，即l与相交，当平面内的两直线平行时，l或l或l与垂直或l与斜交3已知直线l，a，b，平面，若要得到结论l，则需要在条件a，b，la，lb中另外添加的一个条件是_a
3、，b相交由线面垂直的判定定理可知，需添加的一个条件是直线a，b相交对直线与平面垂直的判定定理的理解【例1】下列说法正确的有_(填序号)垂直于同一条直线的两条直线平行；如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若直线l与平面不垂直，则平面内一定没有直线与l垂直因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故不正确由线面垂直的定义可得，正确因为这两条直线可能是平行直线，故不正确如图，l与不垂直，但a，la，故不正确(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说
4、法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OABB平面OACC平面OBCD平面ABCCOAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC直线与平面垂直的判定【例2】如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB证明(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面P
5、AM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，NQPB利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论.2如图所示，RtABC所在平面外有一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC证明(1)SASC，D为AC的中点，SDAC在RtABC中，ADDCBD，又SASB，ADSBDS.SDBD又ACBDD，SD平面
6、ABC(2)BABC，D为AC的中点，BDAC又由(1)知SDBD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线BD平面SAC判定定理和线面角的综合应用探究问题1我们知道，求线面角的关键是找到平面的垂线并作出线面角，那么如何寻找平面的垂线？提示：根据直线与平面垂直的判定定理，和平面内两条相交直线都垂直的直线就是该平面的垂线2求斜线和平面所成的角时，一般要过斜线上一点作平面的垂线，那么这斜线上的一点应该如何选取？提示：斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小思路点拨解如图，连接A1D，设A1
7、DAD1O，连接BO，因为A1DAD1，A1DAB，AD1ABA，所以A1D平面ABC1D1，A1B在平面ABC1D1内的投影为OB，A1B与平面ABC1D1所成的角为A1BO.A1OA1B，A1BO30.1例3的条件不变，求直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小解A1BAB1，A1BB1C1，A1B平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90.2例3的条件不变，求A1B与平面BB1D1D所成的角解连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.A1OB1D1，BB1A1O，BB1B1D1B1，BB1，B1D1平面BB1D1D，A1O平面BB1D1D，A1BO就是A1B与平面B
8、B1D1D所成的角设正方体的棱长为1，则A1B，A1O.又A1OB90，sinA1BO，又0A1BO90，A1BO30，A1B与平面BB1D1D所成的角是30.求直线与平面所成角(1)求解步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影，斜线与其投影所成的锐角或直角即为所求的角.把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.1直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：
9、若ab，a，则b；若，a，则a.2线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90；(2)线面垂直，则线线垂直1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l()(2)若ab，b，则a()(3)若直线l与平面四边形的两边所在的直线垂直，则l就和这个平面垂直()提示(1)错误直线l与平面可能平行，也可能相交但不垂直(2)错误a也可能在平面内(3)错误若平面四边形的两条边平行，则不能保证l和这个平面垂直答案(1)(2)(3)2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且mBmn，且nCmn，且nDmn，且nB
10、A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C、D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B3如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)根据直线与平面垂直的判定定理，知平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件故填.4如图，在四面体ABCD中，BDC90，ACBD2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF. 求证：BD平面ACD证明如图，取CD的中点为G，连接EG，FG.又E，F分别为AD，BC的中点，FGBD，EGACACBD2，则EGFG1.EF，EF2EG2FG2，EGFG，BDEG.BDC90，BDCD又EGCDG，BD平面ACD
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