1、3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)学 习 目 标核 心 素 养1.掌握基本事实4及等角定理(重点)2掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重点、难点)1.通过对空间两条直线位置关系和异面直线概念的学习，培养学生直观想象素养2通过计算异面直线所成的角，培养学生数学运算素养.1基本事实4平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间两条直线的位置关系(1)异面直线的概念定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托如图所示(2)空间两条直线的位置关系3等角
2、定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角定义前提已知两条异面直线a，b作法过空间任一点O作直线aa，bb，这时a，b共面结论我们把a与b所成的不大于90的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为，则090特殊情况当90时，a与b互相垂直，记作：ab思考：1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定可能相交、平行或异面2.如图，在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？提示：相等5空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形称为
3、空间四边形1如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面D空间中两直线的位置关系有：相交；平行；异面两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面2已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150D以上结论都不对B由等角定理可知PQR与ABC相等或互补，故PQR30或150.3若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直D因为ab，bc，则ac，故选D基本事实4与等角定理的应用【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1
4、中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.证明 (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，A1M1AM，四边形AMM1A1是平行四边形，A1A M1M.又A1AB1B，M1MB1B，四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；利用公理4找到一条直线，使所
5、证的直线都与这条直线平行.(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这时两种情况都有可能.1如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.证明(1)如图，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM
6、与D1A1C1均为锐角，DNMD1A1C1.空间两条直线位置关系的判定【例2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，四边形A1BCD1为平行四边形，A1BD1C(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内(1)判定两条直线平行或相交的方
7、法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断(2)判定两条直线是异面直线的方法定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图)2如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_(填序号)中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交异面直线所成角的求法探究问题1. 根据两异面直线所成角的定义，求两异面直线所成角的步骤是什么？提示：作角：平移成相交直线证明：用定义证明前一步
8、为所求的角计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围2在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A30B45 C60D90B如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，故B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45.【例3】如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角思路点拨解如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB所以GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EGGF.因为ABCD，所
9、以EGGF.所以EGF90.所以EFG为等腰直角三角形所以GFE45，即EF与AB所成的角为45.把例3的条件改为：ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，那么EF与AB所成角的大小是什么？解取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB，GFCD故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由ABCD，知EGFG，EFG为等腰三角形当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成
10、的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角，这是由异面直线所成角的范围是决定的1. 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2求两异面直线所成角的大小的关键是作出这个角，作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)分别在两个平面内的两条
11、直线一定是异面直线()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()提示(1)错误不同在任何一个平面内的两条直线才是异面直线(2)正确(3)错误这两条直线也可能异面(4)错误这两条直线可能平行、相交或异面答案(1)(2)(3)(4)2正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是()A正方形B菱形C矩形D空间四边形B设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形3若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A10B20C8D4B设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，EFGHAC4，FGHEBD6，周长为2(46)20.4如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD证明(1)在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD
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