1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时用余弦定理、正弦定理解三角形学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形(重点)2能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题(难点)通过余弦、正弦定理及其变形的应用，培养数学运算及逻辑推理素养.1用两边夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即SABCabsin Cbcsin Aacsin B2.的几何意义ABC的外接圆O半径为R，角A对应的边分别为a，则2R.3在ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aab
2、ab解的个数无解一解两解一解一解无解思考：已知三角形两角及一边，则该三角形有几解？提示：一解两角及一边有两种情形：两角及一角的对边；两角及及其夹边，由“角角边”定理知情形有唯一一解；由“角边角” 公理知情形有唯一一解1若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段()A能组成直角三角形B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形D不能组成三角形B设最大角为，则最大边对应的角的余弦值为cos 0，所以能组成锐角三角形2在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系为()AABBAsin B，2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)，即ab，故AB3在ABC中，SABC(a2b2c2
3、)，则C_.由SABC(a2b2c2)，得absin C(a2b2c2)，即sin C，sin Ccos C，即tan C1，C.4ABC的外接圆O的半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：2R.证明在锐角ABC中，如图1，连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AAAB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，a2Rsin A若A为直角(如图2所示)，在RtBAC中，可直接得a2Rsin A；图1图2图3若A为钝角(如图3所示)，作直径BA，连接AC，则AA，在RtBCA中，BCABsin A2Rsin(A)2Rsin A，即a2Rsin A由得a2Rs
4、in A，即2R，所以2R.判断三角形解的个数【例1】已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，absin A，本题无解(2)a2，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，本题有两解已知三角形的两边及一边的对角判断三角形解的个数的思路(1)通过判断三角方程解的个数来判断；(2)通过作图，转化为圆与射线的公共点的个数来判断1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ax，b2，B45.若ABC有两解，则x的取值范围是_(2,2)因为ABC有两解，所
5、以asin Bba，即xsin 452x，所以2x2.三角形的面积问题【例2】在ABC中，求证：SABC.证明SABC|sin A|x1y2x2y1|.三角形面积计算公式(1)Saha(ha为a边上的高)；(2)Sabsin Cf(abc,4R)2R2sin Asin Bsin C(R为外接圆的半径)；(3)S(abc)r(r为内切圆的半径)；(4)S(s为三角形周长的一半).2已知ABC中，0，SABC，|3，|5，则BAC()A30B120C150D30或150C由SABC，得35sinBAC，sinBAC，又由90，BAC150.正、余弦定理的综合应用探究问题1在ABC中，如何利用正弦定
6、理进行边角转化？提示：(1)边转化为角：a2Rsin A；(2)角转化为边：sin A.2在ABC中，利用余弦定理解三角形时，有什么变形技巧？提示：常用的变形技巧是整体代换，例如(1)a2b2c22abcos C；(2)a222bc，此公式在已知bc和bc的情况下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的关系【例3】已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2b2c2ab，若ABC的外接圆半径为，求ABC面积的最大值解由cos C，得sinC，由外接圆半径R及sin C可得：c2Rsin C4，所以a2b216ab，而a2b22ab，所以有16ab2abab12，所以SABC124.
7、则ABC的面积的最大值为4.本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，在计算面积时有三组边角可供选择：Sabsin Cbcsin Aacsin B，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值.要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再利用均值不等式，可以建立“平方”与“乘积”的不等关系，从而可求出ab的最值.3已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足 1，求角A的范围解由1 ，得bc，整理得b2c2a2bc，所以cos A，所以A.1已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，
8、再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况4已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在ABC中，已知a，b，c，则三角形有唯一解()(2)在ABC中，已知a，b，C，则三角形有唯一解()(3)在ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解()答案(1)(2)(3)2ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()ABC或D或D，sin C.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，此时，SABC1sin 30.3在ABC中，B60，a1，c2，则ABC外接圆的半径R等于_1由余弦定理得，b2a2c22accos B3，b，由正弦定理得，2R2，R1.4在ABC中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有几个？解设BCa，ACb，ABc，由余弦定理得b2a2c22accos B，22a2(2)22a2cos 30，即a26a80，解得a2或a4.当a2时，三边长为2,2,2，可组成三角形；当a4时，三边长为4,2,2，也可组成三角形满足条件的三角形有两个- 8 - 版权所有高考资源网
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