1、3.2向量的数乘与向量共线的关系学 习 目 标核 心 素 养1.掌握共线(平行)向量基本定理(重点)2能用共线(平行)向量基本定理求解点共线问题(重点)通过共线(平行)向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理素养.1共线(平行)向量基本定理给定一个非零向量b，则对于任意向量a，ab的充要条件是存在唯一一个实数，使得ab，思考：1.在共线(平行)向量基本定理中，为什么强调“非零向量a”？提示：当a0，b0时，不存在；当a0，b0时，不唯一2直线的向量表示已知两点A，B确定一条直线l，l上任意一点P所对应的向量与向量平行，即存在唯一实数t，使得t，这说明用一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与
2、向量平行的直线l.通常可以用t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量思考：2.一条直线的方向向量唯一吗？提示：不唯一1平面向量a，b共线的充要条件是()Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量C存在R，baD存在不全为零的实数1，2，使1a2b0DA忽略了方向相反的情况；B只考虑了特例；C没有包含a0而b0的情形；D是充要条件2设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量akb，2ab，3ab，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A10B10C2D2C因为A，B，D三点共线，所以()，所以akb(3ab2ab)(a2b)，所以1，k2.3已知向量ae13e2，be1e2，
3、则a与b的关系是_aba2b，ab.4已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)用e、f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形解(1)(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形.证明向量共线【例1】已知两个非零向量a、b不共线，ab，a2b，a3b.证明：A、B、C三点共线证明由于ab，a2b，a3b，则a2babb，而a3bab2b，于是2，即与共线，又与有公共点A，A、B、C三点共
4、线共线向量基本定理的应用(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行.(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.1已知两个非零向量a与b不共线，如果ab，2a8b，2a4b，求证：A、B、D三点共线证明因为(2a8b)(2a4b)4a4b4(ab)4，所以根据共线向量基本定理，知与共线又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线利用向量共线求参数值【例2】如果向量i2j，imj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线解A、B、C三点共线，即、共线，存在实数
5、使得，即i2j(imj)i2jimj.于是解得m2，即m2时，A、B、C三点共线1此类问题求解的依据：若向量a、b不共线，则当且仅当0时，ab.2将点共线转化为向量共线是求解点共线问题的一种重要方法2设两向量a与b不共线试确定实数k，使kab和akb共线解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个向量，kk10，k210，k1.共线向量在平面几何中的应用【例3】如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点求证：DEBC，且|DE|BC|.证明，.D，E分别为边AB，AC的中点，()，DEBC，且|DE|BC|.应用向量共线定理时的
6、注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.3设点O在ABC内部，且有40，则ABC的面积与OBC的面积之比_设BC的中点为点D，如图则2，420，2，A、O、D共线，且|3|，.1共线向量基本定理是证明三点共线的重要依据即三点共线问题通常转化为向量共线问题2已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)，则A，P，B三点共线mn1.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若b
7、a，则a与b共线()(2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数，使ba()(3)若向量a、b不共线，则当且仅当0时，ab()(4)直线AB可以用向量表示为t，其中O是坐标原点()答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数m的值为()A1或3BC1或4D3或4A因为向量ma3b与a(2m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m，解得m1或m3.3已知点P、Q是ABC所在平面内的两个定点，且满足0,2，若|，则_.由0知，P是边AC的中点，2，Q是边AB的中点，|，即.4如图所示，正三角形ABC的边长为1，.求证：四边形APQB为梯形证明因为，所以.又|1，所以|，故|，于是四边形APQB为梯形
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