1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时函数的最大(小)值内容标准学科素养1.理解函数的最大(最小)值及几何意义直观想象逻辑推理、数学运算2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第47页教材提炼知识点函数的最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D：(1)如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点自主检测1函数f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分别为()A3、5B3、5C1、5D5、
2、3答案：B2函数f(x)在2，)上的图像如图所示，则此函数的最大、最小值分别为()A3、0B3、1C3、无最小值D3、2答案：C3函数y2x22，xN*的最小值是_答案：4授课提示：对应学生用书第47页探究一利用图像法求函数的最值例1已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值解析作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.用图像法求最值的三个步骤已知函数f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值解析：由函数f(x)(x2,6)的图像(如图所示)可知，函数f(x)在区间2,6上单调递减所以，函数f(x)
3、在区间2,6的两个端点上分别取得最大值和最小值ymaxf(2)2，yminf(6).探究二利用单调性求最值例2求函数f(x)x，x4,0的最大值和最小值解析设x1，x2是4,0上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2x2x1.4x1x20，x1x20，x1x20，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在4,0上是减函数f(x)minf(0)3，f(x)maxf(4)9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性写出最值已知函数f(x)，x3，2，求f(x)的最大值和最小值解析：法一：设x1，x2是区间3，2上的任意两个实数
4、，且x1x2，则f(x1)f(x2).由于3x1x22，则x1x20，x110，x210.所以f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以函数y，x3，2是增函数又因为f(2)4，f(3)3，所以函数的最大值是4，最小值是3.法二：f(x)2，所以f(x)图像的对称中心是(1,2)，在(，1)，(1，)是增函数，图像如图：由图像可知f(x)在3，2的值域为3,4，最小值为f(3)3，最大值为f(2)4.探究三二次函数的最值问题例3(1)已知二次函数f(x)x22x3.当x2,0时，求f(x)的最值；当x2,3时，求f(x)的最值；当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)解析f(x)x22
5、x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上当x2,0时，f(x)在2,0上是单调递减的，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3.当x2,3时，f(x)在2,3上先递减后递增，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2.又|21|31|，所以f(x)的最大值为f(2)11.a.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3.b当t1t1，即0t1时，f(x)在区间t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.c当t11，即t0时，f(t)在t，t1上单调递减，所以当xt
6、1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22，综上得，g(t)(2)求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解析f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.当a2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.探究四利用单调性比较大小、解不等式例4(1)如果函数f(x)x2bxc，对任意实数x都有f(2
7、x)f(2x)试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小解析由题意知，f(x)的对称轴为x2，故f(1)f(3)f(x)x2bxc，f(x)在2，)上为增函数f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解析由题意可得解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，1a2a1，即a.由可知，0a，即所求a的取值范围是.1.利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2D，x1x2f(x1)f(x2
8、)(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.2利用函数单调性解不等式与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若yf(x)在给定区间上是增函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)；当x1x2时，f(x1)f(x2)；(2)逆向结论：若yf(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1x2；当f(x1)f(x2)时，x1x2.当yf(x)在给定区间上是减函数时，也有相应的结论已知函数f(x)在(0，)上是减函数，且f(x)f(2x3)，求x的取值范围解析：f(x)是定义在(0，)上的减函数，且f(x)f(2x3)，解
9、得x3.授课提示：对应学生用书第49页一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x1，x2(x1x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题注意：若给出的是和型f(xy)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)x2；若给出的是积型f(xy)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)f(x1)ff(x1)典例已知函数f(x)对任意x，yR，总
10、有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值与最小值解析(1)证明：令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.又令yx，得f(x)f(x)f(xx)f(0)0，f(x)f(x)任取x1，x2R，且x1x2，则x2x10，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x2x10，依题设x0时，有f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)yf(x)在R上是减函数(2)3,3R，故f(x)maxf(3)，f(x)minf(3)由(1)可知f(3)f(3)，又f(3)f(21)f(2)f(1)f(11)f(1)f(1)f(1)f(1)3f(1)32，f(3)f(3)2，f(x)maxf(3)2，f(x)minf(3)2.二、忽视参数对最值的影响典例函数yax1在区间1,3上的最大值为4，求a的值解析当a0时，yax1为增函数当x3时，ymax3a14.a1.当a0时，yax1为减函数当x1时，ymaxa14.a3.综上，a1或a3.纠错心得忽视对a，即对函数单调性的讨论，直接认为yaxb为增函数，只有一个解，当函数的单调性受参数影响时，要根据题意进行讨论- 8 - 版权所有高考资源网
