1、22.3一元二次不等式的解法内容标准学科素养1.通过实例了解一元二次不等式数学运算逻辑推理2.掌握一元二次不等式的解法3.会解简单的分式不等式.授课提示：对应学生用书第30页教材提炼知识点一一元二次不等式的概念一般地，形如ax2bxc0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a0.不等式中的不等号也可以是“”“”“”等知识点二一元二次不等式的解法一般地，如果x1x2，则不等式(xx1)(xx2)0的解集是(x1，x2)，不等式(xx1)(xx2)0的解集是(，x1)(x2，)自主检测1不等式xx2的解集是()Ax|x1Bx|x0Cx|0x1DR答案：C2不等式x26x100的解集
2、是()ABRCx|x5Dx|x2答案：A3二次方程ax2bxc0的两根为2,3，a0，那么ax2bxc0的解集为()Ax|x3或x2Bx|x2或x3Cx|2x3Dx|3x2答案：C4不等式x2x20的解集为_答案：R授课提示：对应学生用书第31页探究一一元二次不等式的解法例1解下列不等式(1)x22x0；(2)x23x50；(3)4x218x0.解析(1)两边都乘以3，得3x26x20，30，3624120，且方程3x26x20的根是x11，x21.原不等式的解集是x|1x1(2)不等式可化为x26x100，(6)241040，原不等式的解集为.(3)不等式可化为16x272x810，即(4x
3、9)20，4x90时，x.原不等式的解集为x|x解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.1求不等式2x23x20的解集解析：2x23x20的两解为x1，x22，且a20，不等式2x23x20的解集是.2解不等式x22x30.解析：不等式可化为x22x30.因为(2)24380，方程x22x30无实数解，而yx22x3的图像开口向上，所以原不等式的解集是.探究二含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式x2(aa2)xa30
4、(aR)解析原不等式可化为(xa)(xa2)0.当a0时，aa2，原不等式的解集为x|xa，或xa2；当a0时，x20，原不等式的解集为x|x0；当0a1时，a2a，原不等式的解集为x|xa2，或xa；当a1时，a2a，原不等式的解集为x|x1；当a1时，aa2，原不等式的解集为x|xa，或xa2综上所述：当a0或a1时，原不等式的解集为x|xa，或xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa2，或xa；当a0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论将本例不等式变为：解
5、关于x的不等式ax2(a1)x10(aR，a0)解析：因为a0，所以原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)0无解；当a1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1时，1，解(x1)0，得1x.综上，a1时，不等式的解集为x|x1；a1时，不等式的解集为；0a1时，不等式的解集为x|1x探究三解简单的分式不等式例3解不等式(1)0；(2)2.解析(1)由0，得0.此不等式等价于(x2)(x1)0.原不等式的解集为x|x2或x1(2)法一：移项，得20，左边通分并化简，得0，即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x2或x5法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解，得x5.解
6、，得x2.原不等式的解集为x|x2或x51对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解解不等式(1)0；(2)1.解析：(1)原不等式等价于或，解得x3或2x1.原不等式的解集为x|x3或2x1(2)原不等式可化为10，即0，等价于(3x2)(4x3)0.x.原不等式的解集为.授课提示：对应学生用书第32页分久必合分类讨论思想解含参数不等式含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度分类讨论是解决这类问题的
7、主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论若把握不好这一类，问题就不能顺利解决(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论1讨论二次项系数型为主当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关典例解关于x的不等式，ax2(1a)x10.解析原不等式化为(x1)(ax1)0(1)当a0时，原不等式为x10，x1，(2)当a0时，原不等
8、式为(x1)(x)0.两根为1与且1，得x1或x；(3)当a0时，原不等式化为(x1)(x)0两根为1与，又当1a0时，1，得1x.当a1时，不等式为(x1)20，解集为，当a1时，1，得x1.综上，当a0时，解集为x|x1，或x；当a0时，解集为x|x1；当1a0时，解集为x|1x；当a1，解集为；当a1时，解集为x|x1规律总结解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论2讨论判别式型为主当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论典例解关于x的不等式：2x2ax20.解析a216(a4)(a4)(1)当a4或a4时，0，
9、方程2x2ax20的两根为x1(a)，x2(a)原不等式的解集为.(2)当a4时，0，方程只有一根x，原不等式的解集为.(3)当4a4时，0，方程无根，原不等式的解集为R.规律总结若一元二次方程判别式符号不确定，应分0、0、0讨论3讨论根的大小型为主当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围典例解关于x的不等式：x22x1a20.解析原不等式等价于(x1a)(x1a)0.当a0时，1a1a，所以原不等式的解集为x|x1a，或x1a当a0时，原不等式的解集为全体实数R.当a0时，1a1a，原不等式的解集为x|x1a，或x1a规律总结当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(0)，一根(0)，无根(0)(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.
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