1、第3节 等差数列等比数列综合应用【基础知识】 等差数列和等比数列等差数列等比数列定义常数常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(2) (3) ，仍成等差数列(1)若，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，仍成等比数列前n项和时，；当时，或.【规律技巧】1.
2、 等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系2.在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式方程思想的应用往往是破题的关键3. 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时
3、要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形5.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【典例讲解】【例1】 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式 (1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，首项c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，以为公比的等比数列规律方法证明数列an是
4、等比数列常用的方法：一是定义法，证明q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明aan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【变式探究】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列解析：(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.所以S1，2.因此Sn是以为首项，2为公比的等比数列【针对训练】1、各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则 ()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，即，解得（舍去）；而.
5、2、设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于( )A.78 B.84 C.124 D.126【答案】3、已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则= .【答案】31【解析】由得，即，与的等差中项为，可得，得，从而，所以4、在公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且 则的值为 （ ）A2 B4 C8 D1【答案】B5、设数列为等差数列，数列为等比数列若，且（，），则数列的公比为 .【答案】【解析】试题分析：设，依次为，因为，所以，因为，所以，又，所以，则或（舍），所以.若，则（舍）；若，则，所以.【练习巩固】1、已知是等差数列，公差不为零，前
6、项和是，若，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】等差数列，成等比数列，故选B.2、已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】2数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.【答案】1【解析】 因为数列an是等差数列，所以a11，a33，a55也成等差数列又 a11，a33，a55构为公比为q的等比数列，所以a11，a33，a55为常数列，故q1.3等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3【答案】C4已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由【解析】(1)设数列an的公差为d，依题意得，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2.从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.
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