1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。阶段提升课第一课解 三 角 形思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.(2020天津高一检测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA-acosB=2b-c,则A=()A.B.C.D.【解析】选C.由已知和正弦定理得sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin C,即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin(A+B),即sin Bsin A-sin Acos B=2sin
2、B-,所以sin Bsin A=2sin B-cos Asin B,因为sin B0,所以sin A+cos A=2,即sin=1,所以A+=+2k,即A=+2k,又A(0,),所以A=.2.(2020遂宁高一检测)在ABC中,AB=5,AC=,AD为边BC的中线,且AD=4,则BC边的长为()A.3B.3C.2D.4【解析】选D.设BC=2x,在ABC中cos B=,在ABD中cos B=,所以=,解得x=2(负值舍去),则BC=4.3.(2020广州高一检测)如图,点A在BCD的外接圆上,且sin A=,A为锐角,AD=CD=5,BD=3.(1)求AB的长;(2)求四边形ABCD的面积.【
3、解析】(1)因为sin A=,A为锐角,所以cos A=,在ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcos A,AB2-8AB-20=0得AB=10或AB=-2(舍去),所以AB=10.(2)由(1)可知SABD=ABADsin A=105=15,因为ABCD四点共圆,所以A+C=,所以sin C=,cos C=-,在BCD中,由正弦定理得=,即=,得sinDBC=,cosDBC=,所以sinBDC=sin-(DBC+BCD)=sin(DBC+BCD)=+=,所以SBCD=BDCDsinBDC=35=3,所以四边形ABCD的面积S=15+3=18.解三角形的一般方法(1)已知两
4、角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二判断三角形的形状1.(2020仁寿高一检测)在ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角
5、形【解析】选A.cos2=,则=,即sin C+cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C,即sin Acos C=0,sin A0,故cos C=0,C=.2.在ABC中,若=,试判断ABC的形状. 【解析】由已知=,得=.可有以下两种解法.方法一:(利用正弦定理,将边化角)由正弦定理得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B.因为B,C均为ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180.即B=C或B+C=90.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二:(利用余弦定理,将角化边)因为=,所以由余弦定理得=,即
6、(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0.所以a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0.所以b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.三角形形状的判断方法判断三角形的形状,一般有以下两种方法:(1)将已知条件统一化成边的关系,用代数方法求解;(2)将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解.题组训练三正、余弦定理的实际应用1.(2020仁寿高一检测)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面
7、内的两个测点C与D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于()A.5B.15C.5D.15【解析】选D.在BCD中,CBD=180-15-30=135.由正弦定理得=,所以BC=15.在RtABC中,AB=BCtan ACB=15=15.2.如图,为了测量A、C两点间的距离,选取同一平面上B、D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且B与D互补,则AC的长为_km.()A.7B.8C.9D.6【解析】选A.cos B=,cos D=,因为B与D互补,所以cos B+cos D=0,所以+=0
8、,解得AC=7(负值舍去).3.(2020南通高一检测)为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知原公园是直径为200 m的半圆形,出入口在圆心O处,A为居民小区,OA的距离为200 m,按照设计要求,以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点),使改造后的公园成四边形OACB的形状,如图所示.(1)若OBOA时,C与出入口O的距离为多少米;(2)B设计在什么位置时,公园OACB的面积最大.【解析】(1)设OAB=,BAC=,则在RtOAB中AB2=50 000,AC2=25 000,sin =,cos =,在OAC中,cosOAC=cos=cos
9、cos-sin sin=,OC2=OA2+AC2-2OAACcos=45 000,则OC=150 m.(2)如图,设AOB=(0),则AB2=OB2+OA2-2OBOAcos =50 000-40 000cos ,又SABC=AC2=AB2=12 500-10 000cos ,又SAOB=OAOBsin =200100sin =10 000sin ,所以S四边形OACB=SABC+SAOB=12 500-10 000cos +10 000sin =10 000(sin-cos)+12 500=10 000sin+12 500,所以当sin=1,即=时,四边形OACB面积最大为(10 000+1
10、2 500) m2.解三角形在实际生活中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.题组训练四与三角形有关的综合问题1.(2020成都高一检测)在ABC中,已知向量m=,且m2=,记角A,B,C的对边依次为a,b,c.若c=2,且ABC是锐角三角形,则a2+b2的取值范围为_.【解析】由题意得向量m=,且m2=,则m2=cos2+1=+1=,即cos
11、=-,因为0A+B,所以A+B=,即C=,因为c=2,由正弦定理得=,即a=sin A,b=sin B=sin,则a2+b2=-=-=+sin,因为ABC是锐角三角形,即0A且0B=-A,所以A,即有2A-,所以有sin1,所以c,已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值. 【解析】(1)由=2得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+26=13.解得或因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=.因为a=bc,
12、所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.三角形综合问题的求解策略正、余弦定理将三角形中的边和角的关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解. 阶段综合测评,请使用“单元素养评价(一)”关闭Word文档返回原板块
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