1、1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系素养目标定方向 课程标准学法解读1了解空间直角坐标系2会用空间直角坐标系刻画点的位置1了解空间直角坐标系的建系方式(直观想象)2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(直观想象)3能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点(直观想象)必备知识探新知 知识点1 空间直角坐标系1空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：_x轴、y轴、z轴_它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个_空间直角坐标系Oxyz_(2)相关概
2、念：_O_叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过_每两个坐标轴_的平面叫做坐标平面，分别称为_Oxy_平面、_Oyz_平面、_Ozx_平面，它们把空间分成八个部分2右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_x轴_的正方向，食指指向_y轴_的正方向，如果中指指向_z轴_的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系思考1：空间直角坐标系有什么作用？提示：可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化知识点2 空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标单位向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序
3、实数组(x，y，z)，使xiyjzk在单位正交基底i，j，k下与向量对应的_有序实数组(x，y，z)_叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作_A(x，y，z)_，其中_x_叫做点A的横坐标，_y_叫做点A的纵坐标_z_叫做点A的竖坐标思考2：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)知识点3 空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作a由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk有序实数组(x
4、，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a(x，y，z)思考3：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)关键能力攻重难 题型探究题型一空间中点的坐标表示典例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标解析如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz所以D(0,0,0)因为长方体的棱长AD3，DCAB5，DD1AA14，因为点A在x轴上，且AD3，所以3i0j0k，所以A(3，0,0)
5、同理：C(0,5,0)，D1(0,0,4)点B在x轴，y轴，z轴射影分别为A，C，O，它们在坐标轴上的坐标分别为3,5,0，所以点B的坐标为(3,5,0)同理得A1(3,0,4)，C1(0,5,4)由B1在Oxy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以点B1的坐标为(3,5,4)规律方法建系确定点的坐标的原则(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点
6、的坐标，再找出它在另两个轴上的射影，确定点的坐标【对点训练】如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标解析如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在Dxy平面中，且|EA|所以ij0k，所以E点的坐标为同理B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，又因为F是BB1的中点，故F点坐标为同理可得G点坐标为题型二空间向量的坐标表示典例2在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，建立适
7、当的空间直角坐标系，求，的坐标分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间向量基本定理，将，用基底表示，即得坐标解析由已知AOOB，O1OOA，O1OOB，从而建立以，方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，则4i，2j，4k，()2ij4k，故的坐标为(2，1，4)()4i2j4k，故的坐标为(4,2，4)即(2，1，4)，(4,2，4)规律方法用坐标表示空间向量的步骤如下：【对点训练】如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量，的坐标解析因为PAABAD1
8、，PA平面ABCD，ABAD，以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示因为0i1j0k(0,1,0)，i0j0k(1,0,0)，()()jk题型三空间向量坐标的应用角度1对称问题典例3在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标解析(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(2，1，4)(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(2，1，4
9、)(3)设对称点为P1(x，y，z)，则点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P1(6，3，12)角度2距离问题典例4如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度解析如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，因为|DD1|CC1|AA1|2，所以C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，因为N为CD1的中点，所以NM是A1C1的三分之
10、一分点且靠近A1点，所以M(1,1,2)所以(1,1,2)ij2k，i3jk，所以(ij2k)i2jk，所以|，即|MN|规律方法1空间对称问题的特点空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论2利用向量法求空间两点距离的方法(1)建系，确定两点坐标(2)求出以向量，的坐标(3)求的坐标(4)根据公式求出的模，即AB的距离【对点训练】已知点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_(2，3,
11、1)_解析点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，3，1)易错警示建立空间直角坐标系的常见失误典例5在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标错解以AB，AC，AA1为x，y，z轴建系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,2)，C1(0,1,2)，A1(0,0,2)，(0,0,2)，(1,0,2)，(0,1,2)辨析在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两两垂直，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系环境正解分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A，A1，B1，C1，所以(0,0,2)，
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