1、圆锥曲线存在性问题（六）1、过椭圆（ab0）右焦点 F（1，0）的直线（长轴除外）与椭圆相交于M、N两点，自M、 N向右准线l：x=4作垂线，垂足分别为M1、N1。（1）求此椭圆的方程；（2）记FMM1、FM1N1、FNN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在A，使得对任意的a0，都有S22=S1S3成立？ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由。2、已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为。（） 求的值；（）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由。3、如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与线段
2、、分别交于点、.()当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程； ()过点作直线交于点，记的外接圆为圆.求证:圆心在定直线上；圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 4、如图,在中,以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右顶点作直线l与圆相交于M、N两点,试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为的两段弧吗?若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.5、如图，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的右顶点，点，点在椭圆上，。（1）求直线的方程；（2）求直线被过三点的圆截得的弦长；（3）是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆？若存在，
3、求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由。6、已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.(1)求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.7、在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=PB，记点P的轨迹曲线为C（1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2）满足=，点S为R关于x轴的对称点试用表示x1，x2，并求的取值范围；当变化时，x轴上是否存在定点T，使S
4、，T，Q三点共线，证明你的结论8、 已知圆：，点在直线上，过点作圆的两条切线，为两切点，（1）求切线长的最小值，并求此时点的坐标；（2）点为直线与直线的交点，若在平面内存在定点(不同于点，满足：对于圆上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标；（3）求的最小值答案：圆锥曲线（六）1、解：（1）易得椭圆方程为。（2）如图，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x=my+1，则M1（4，y1），N1（4，y2），x1=my1+1，x2=my2+1联立方程消去x得由韦达定理得因为所以有即存在这样的，此时=4。2、解：（）设，当的斜率为时，其方程为，到的距离为，故，。由，得，。
5、（）上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由（）可知的方程为。设，。（）当不垂直于轴时，设的方程为。上的点使成立的充要条件为点的坐标为，且，整理得。又在上，即，。故将代入，并化简得。于是，。代入解得，。此时。于是，即。因此当时，的方程为；当时，的方程为。（）当垂直于轴时，由知，上不存在点使成立。综上上存在点使成立，此时的方程为。3、解:()设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3而,所以，故椭圆的标准方程为 ()解法一:易得直线,所以可得,再由,得则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为经验证,该圆心在定直线上解法二:易得直线,所以可得,再由,
6、得设的外接圆的方程为,则,解得所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上由可得圆C的方程为该方程可整理为,则由,解得或,所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为4、解:(1),依椭圆的定义有:,又,椭圆的标准方程为(2)椭圆的右顶点,圆E的圆心为,半径.假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为的两段弧,则,圆心到直线l的距离当直线l斜率不存在时,l的方程为,此时圆心到直线l的距离(符合)当直线l斜率存在时,设l的方程为,即,圆心到直线l的距离,无解综上:点M、N能将圆E分割成弧长比值为的两段弧,此时l方程为.解析(1)确定A,C的坐标,即可得到P的坐标,利用椭圆的定义,求得长轴长,进而可求椭圆的方程;
7、(2)椭圆的右顶点,圆E的圆心为,半径,假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为的两段弧,则可得,圆心到直线l的距离,分类讨论:当直线l斜率不存在时,l的方程为;当直线l斜率存在时,设l的方程为,即,求出圆心到直线l的距离即可得到结论.5、解：（1）因为，且，所以，而、关于轴对称，所以点的横坐标为1，从而得，所以直线的方程为。（2）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以圆的圆心为，且圆的半径为。又圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为。（3）假设存在这样的两个圆与圆。其中是圆的弦，是圆的弦，则点一定在轴上，点一定在线段的垂直平分线上，当圆和圆是两个相外切的等圆时，一定有、在一条
8、直线上，且。设，则，根据在直线上，解得。所以，故存在这样的两个圆，且方程分别为。解析:本题主要考查椭圆的方程与直线与椭圆的位置关系。（1）本题可先求出点坐标，然后再求出，即。进而可求出点坐标，便可求出直线的方程。（2）本题可先求出圆心坐标，然后再求出圆心到直线的距离，进而便可求出圆被直线求得的弦长。（3）本题应该先假设存在这样的两个等圆，然后再分析得出这样的两个圆的圆心位置所需满足的条件，进而找出符合题意的情况。6、解：(1)设则=动点M的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆由动点M的轨迹C的方程为(2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，设满足条件的直线、存在，直线的方程为-则直线的方程
9、为，-将代入椭圆方程并整理得：，可得，则.将代入椭圆方程并整理得：，可得，则.由BDE是等腰直角三角形得-或-方程的根判别式，即方程有两个不相等的实根，且不为1.方程有三个互不相等的实根.即满足条件的直线、存在，共有3组7、解：（1）利用PA=PB，化简即得；（2）由=，可得，又Q，R在曲线C上，所以有，利用，由此可确定的取值范围先猜想存在与题意相符的点T（a，0），再证明要证S，T，Q三点共线，只要证明解答：解：（1）设点P坐标为（x，y），由PA=PB，得，平方整理得x2+y2=2a2，所以曲线C的方程为x2+y2=2a2（2）由=，得，Q，R在曲线C上，又Q，R不重合，1，的取值范围是存在与题意相符的点T（a，0），证明如下：，要证S，T，Q三点共线，只要证明，即（x2-a）y1-（x1-a）（-y2）=0y2=y1，只要（x2-a）y1+（x1-a）y1=0若y1=0，则y2=0成立若y10，只要x2+x1-a（1+）=0成立所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线8、解（1）设点=故当，即时，（2）由题：，设，满足则整理得：，对任意的点都成立，可得解得，或（舍）
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