1、2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(二)第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解指数不等式得到集合，然后再求出即可【详解】由题意得，故选D【点睛】本题考查指数函数单调性的应用以及集合交集的求法，解题的关键是正确求出集合，属于容易题2.设为虚数单位,复数满足 ，则共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部【详解】 ， ，复数的虚部为故选C【点睛】本题考查复数的乘
2、除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了3.学生李明上学要经过个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为,第四个路口遇到红灯的概率为,设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分两种情况求解：前三个路口恰有一次红灯，第四个路口为绿灯；前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯分别求出概率后再根据互斥事件的概率求解即可【详解】分两种情况求解：前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为；前三个路口都是绿灯，第四个路口
3、为红灯的概率为由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为故选A【点睛】求解概率问题时，首先要分清所求概率的类型，然后再根据每种类型的概率公式求解对于一些比较复杂的事件的概率，可根据条件将其分解为简单事件的概率求解，再结合互斥事件的概率加法公式求解即可4.已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点, 为渐近线上一点且在第一象限,且满足,若,则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得为直角三角形，又得；由于，所以，故得为正三角形，所以得到直线的倾斜角为，即，由此可得离心率【详解】设为坐标原点，为直角三角形又的中点，为正三角形，直线的倾斜角为，离心率故选B【点睛】求双曲
4、线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围5.已知为锐角, ,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可求得，进而可得，然后再根据两角和的正弦公式求解即可【详解】，又为锐角，故选D【点睛】对于给值求值的三角变换问题，在解题时要注意根据条件及所求灵活应用公式，将所给的条件进行变形，逐步达到求解的目的，同时在解题过程中还要注意三角函数值符号的处理，避免出现错误6.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】逐次
5、运行框图中的程序可得所求的结果【详解】逐步运行程序框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，继续运行；第三次：，不满足条件，继续运行；第四次：，不满足条件，继续运行；第五次：，不满足条件，继续运行；第六次：，不满足条件，继续运行；第七次：，不满足条件，继续运行；所以输出的的值周期出现，且周期为6，因此当时，故选B【点睛】解答程序框图输出结果的问题时要注意两点：一是要搞清程序框图能实现的功能；二是要搞清程序框图的结构，若是条件结构，则要分清条件及程序的流向；若是循环结构，则要分清循环体以及终止条件然后依次运行程序框图中的程序，逐步得到输出的结果7. ，则的值为（
6、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用赋值法求解，令和令即可【详解】在展开式中，令，得，令，得，故选C【点睛】因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图得到几何体，然后根据几何体的特征求出其表面积即可【详解】由三视图可得几何体如下，可得该几何体是正方体被切去了个球 故几何体的表面积为故选C【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素
7、间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可9.已知,则不可能满足的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，从而可得，故，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论【详解】，整理得对于A，由于，解得，所以A成立对于B，由于，解得，所以B成立对于C，所以C成立对于D，由于，所以，因此D不成立故选D【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式的应用，同时也要注意不等式所需的条件，即“一正、二定、三相等”10.若函数 在区间内没有最值,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得函数在区间内单
8、调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求【详解】函数的单调区间为，由，得函数 在区间内没有最值，函数 在区间内单调，解得由，得当时，得；当时，得，又，故综上得的取值范围是故选B【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数在区间内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号11.过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
9、分析】设，根据导数的几何意义求得过A，B两点的切线方程，然后解方程组得到交点坐标，并结合点的坐标求得再根据两切线垂直可得抛物线的方程为，设出直线的方程，联立消元后根据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距，于是可得直线方程【详解】由，得，设，则，抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，由解得，又两切线交于点，故得过两点的切线垂直，故，故得抛物线的方程为由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，由消去y整理得，由和可得且，直线的方程为故选B【点睛】解决与抛物线有关的综合问题时，要注意知识间的灵活利用，如在本题中求切线方程时可根据导数的知识求解；同时也要注意抛物线本身知识的灵活应用，如利用
10、定义可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化12.在正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥)中，三条侧棱两两垂直，正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为,与底面切于点,则三棱锥与的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设正三棱锥的棱长为，内切球半径为，内切球的球心为，由题意可得然后再根据几何知识求得三棱锥的体积，进而可得所求【详解】如图，设正三棱锥的棱长为，内切球半径为，内切球的球心为，则有又，解得把面单独拿出来分析，如图是的中心，过D作于，则，显然为等边三角形，故选B【点睛】解答本题时注意：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住
11、外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用（2）解决立体几何问题时要注意平面几何知识的运用，对于问题中的计算问题在求解是要注意运算的合理性和准确性第卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.在中, ,则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】设，将与分别用表示，通过求可求出两向量的夹角【详解】设，则，与的夹角为【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根据公式求出两向量夹角的余弦值，最后根据向量夹角的范围求出两向量的夹角14.由不等式组,组成的区域为,作关于直线的对称区域,点和点分别为区域和内的任一点,则的最小
12、值为_【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的区域，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为，由此可得所求【详解】画出不等式组表示的区域，如下图阴影部分所示由题意得三个交点的坐标分别为结合图形可得区域内的点到直线的距离最小，且最小值为由题意得的最小值为，因此所求的最小值为【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将区域和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，体现了转化思想方法在解题中的运用15.函数满足,当时, ,过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有个交点,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意得函数为偶函数且
13、图象的对称轴为，由此得到函数的周期为，由此可画出函数的图象，然后结合图象求解的取值范围即可【详解】，即，函数的周期为由时， ，则当时，故，因此当时， 结合函数的周期性，画出函数图象如下图所示又过点且斜率为的直线方程为结合图象可得：当时， 与联立消去整理得，由，得或(舍去)，此时，故不可能有三个交点；当时，点与点连线的斜率为，此时直线与有两个交点，又，若同相切，将两式联立消去y整理得 ，由，得或(舍去)，此时 ，所以当时有三个交点综上可得的取值范围为【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法
14、：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16.在中, 是边上的一点, , ,则_【答案】【解析】【分析】在中由题意可得，故得过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可得则，且然后在中，由正弦定理得【详解】在中，可得，过点作，交的延长线于点，如下图，则 ，在中，由正弦定理得， 【点睛】本题考查正弦定理在几何中的应用，同时也考查三角变换的应用，解题时要注意平面几何知识的利用，并由此寻求解三角形所需要的条件，然后再根据正弦（余弦）定理求解三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在数
15、列中,已知,.(1)若是等比数列,求的值；(2)求数列的通项公式.【答案】(1) 或2 (2) 【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，可得 ，由题意知，于是得到关于的方程组，解方程组可得所求（2）结合（1）中的结论，可得 和 ，由以上两式消去可求得 ，即为所求【详解】(1)设等比数列的公比为，则 ，整理得 ，又，解得或 (2)由（1）得，当时， ，此时数列为等比数列， ，当时， ，此时数列为等比数列， ，-得 ， 【点睛】本题考查定比数列的定义及其通项公式的求法，解题时要根据所给出的条件并结合等比数列的有关知识求解，求解过程中要结合方程（组）等知识的运用，需要认真计算，灵活处理已知条件18
16、.如图所示, 平面,平面平面,四边形为正方形，, ,点在棱上.(1)若为的中点为的中点,证明:平面平面；(2)设,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析(2) 不存在,使得平面平面【解析】【分析】（1）由平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形为平行四边形，于是，可得平面又可根据条件得到平面，然后根据面面平行的判定定理可得结论（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又根据题意可得两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解【详解】(1)平面平面，平面平面，平面.又平面，又 ，四边形为平行四边形，又平面 平面，平面，又平面 平面，平面又平
17、面平面，平面平面（2）在中，由余弦定理得 ，为直角三角形，且，由平面可得，两两垂直.以点为坐标原点， 依次为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示，则设面的一个法向量为，则即令，解得，设平面的一个法向量为，则即令，得， 若平面平面，则 ，化简得，由于，故此方程无解，所以不存在实数，使得平面平面.【点睛】立体几何中，对于“是否存在”型问题的解答方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”19.中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余
18、力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示: (1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成
19、绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:参考公式: ，期中，【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系(2) ,见解析【解析】【分析】（1）由题意可得列联表和等高条形图，并可作出判断，然后求出后与临界值表对照可得结论（2）根据题中的统计数据可得所求概率为；设获得某高校自主招生通过的人数为，则，由此可得的分布列结合可得通过的人数
20、为人【详解】(1)列联表如下：等高条形图如下图，通过图形可判断学习先修课程与优等生有关系.又由列联表可得 ，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.(2)由题意得所求概率为 设获得某高校自主招生通过的人数为，则， ，的分布列为今年全校参加大学生先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为【点睛】(1)独立性检验的一般步骤：根据样本数据制成22列联表；根据公式计算的值；比较与临界值的大小关系作出统计推断(2)的值可以确定在多大程度上认为“两个分类变量有关系”；的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握越大20.已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面
21、积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;（2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值 .【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据题意可得椭圆的方程为，设，由，得，根据代入法可得曲线的方程为（2）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得将与联立可得二次方程，然后由根与系数的关系及弦长公式可得，从而得到，求得后再根据基本不等式求解即可得到所求【详解】(1)依题意可得 ，由，解得，椭圆方程为.设，由，得，代人椭圆方程得曲线的方程为(2)由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得，即.由消整理
22、得 又直线与椭圆交于两点，所以，故得设，则， .则，. ，当且仅当，即时，等号成立所以的最大值为【点睛】求解解析几何中的范围（最值）问题时，可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.知函数，与在交点处的切线相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围 .【答案】(1) 。(2) 或。【解析】分析：（1）分别求出与在交点处切线
23、的斜率，从而得到答案；（2）对求导，分类讨论即可.详解：(1) ，又，与在交点处的切线相互垂直，,.又在上, ，故. (2)由题知 .,即时,令,得;令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使 .又，在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，又,有两个零点,符合题意.,即时,令,得,令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，在区间上存在一个零点,若要有两个零点,必有,解得.,即时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间
24、上单调递减,在区间上单调递增，,在区间上存在一个零点，又 ，在区间上不存在零点,即只有一个零点,不符合题意.综上所述, 或. 点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,圆经过伸缩变换后得到曲线,相互垂直的直线过定点与曲线相交于两点, 与曲线相交于两点.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)求的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】
25、（1）由变换公式可得代入圆的方程后可得曲线的直角坐标方程（2）设出直线的参数方程为(为参数)，代入椭圆方程后再根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义，可得 ，同理，于是可得的表达式，再根据三角函数的知识求解【详解】(1) 由可得，将上式代入，可得到曲线的方程为 (2)设直线的参数方程为(为参数)，代入方程，整理得 ，设两点对应的参数分别为，则 ，所以 同理故 ，当时，上式取得最小值为.所以的最小值为【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题可使问题的解决变的简单，但在解题中要注意在直线的参数方程中，只有当参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任
26、一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|23.选修4-5：不等式选讲已知函数 .(1)求关于的不等式的解集；(2) ,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据分类讨论的方法将绝对值不等式转化为不等式组求解（2）由题意将问题转化为由（1）可得，然后根据基本不等式可得于是得到，解不等式可得所求【详解】(1)由题意得 不等式可化为或或 或解得所以不等式的解集为 (2) ，使得成立，等价于.由(1)知，当时， ，当且仅当，即当时，等号成立所以，解得，又，所以故实数的取值范围为【点睛】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解
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