1、第三节 模拟方法概率的应用基础梳理几何概型的概念 向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)=1GG的面积的面积，则称这种模型为几何概型 C.基础达标141315121.(教材改编题)一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是()A.B.D.故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是 解析：每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的 4112313答案：B 2.(原创题)在一个长为1 m、宽为0.4 m的长方体鱼缸中漂浮着一块面积为0.02 m2的浮
2、萍，则向缸里随机洒鱼食时，鱼食掉在浮萍上的概率约为()A.0.05 B.0.20 C.0.40 D.0.04 3.(教材改编题)有如下四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖华明希望中奖，他应选择的游戏盘是()解析：记“鱼食掉在浮萍上”为事件A，鱼缸的水面面积S=0.4 m2，则P(A)=0.020.050.4 答案：A 所以B游戏盘的中奖概率最大.B游戏盘的中奖概率为 解析：A游戏盘的中奖概率为 38122222424rrr 221rrC游戏盘的中奖概率为，D游戏盘的中奖概率为 答案：B 4.在直径为6的球内随机取一个点，则这个点到球面的距离大于2的概率为()A.D.13191271
3、36B.C.解析：由题意知，当点位于以原球心为球心，以1为半径 的球的内部时满足题意，故P=334 11342733.答案：C.经典例题 题型一 与长度、角度有关的几何概型【例1】某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率 .解析：每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间3,10上 设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的
4、长度等于7.如图所示 记“等车时间不超过7分钟”为事件A，事件A发生即点t落在线段TT2上，则w的长度=T1T2=10，A的长度=TT2=7，所以P(A)=.故等车时间不超过7分钟的概率是 7w10A 710 如图，四边形ABCD为矩形，AB=，变式1-1 3BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是 所以CAB=30，当直线AP在CAB内时AP与BC相交，所以概率P=1333301903 解析：如图，连接AC交弧DE于P，则tanCAB=.答案：13 题型二 与面积有关的几何概型【例2】设线段AC的长为2，B是AC的中点，
5、现在AB上任取一点D，在BC上任取一点E，以D、E为分点，把AC分成AD、DE、EC三段，试求以AD、DE、EC为三边能构成一个三角形的概率 l.解析：设AD、EC的长度分别为x，y，则DE的长度为2l-x-y，其中0 xl,0yl，对于如图所示的边长为l的正方形，以AD、DE、EC为边能构成三角形的条件是 ADDE ECADEC DEDEEC AD.y lxy lx l 12即 所以，当以x为横坐标，以y为纵坐标的点落在图中阴影三角形区域内，三线段AD、DE、EC能构成一个三角形，从而所求概率P=地面上有两个同心圆(如图)，其半径分别为3,2，若图中两直线所夹锐角为 ，则向最大圆内投点且投到
6、图中阴影区域内的概率为 变式2-1 422232321744936SS阴 解析：所求概率P=.1736答案：题型三 与体积有关的几何概型【例3】在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则 P(A)100.011000 所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.取出的种子体积所有种子的体积 已知棱长为2的正方体的内切球为球O，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率是 .变式3-1 正方体的体积为V=23=8，由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能地在正方体内每个位置上，由几何概型公 式，这点不在球O内(事件A)的概率为P(A)=643483186VVV 球 解析：球的直径就是正方体的棱长2，所以球O的体积V球=.所以所求的概率为1-.6答案：链接高考(2010湖南)在区间-1,2上随机取一个数x，则x0,1的概率为 知识准备：1.明确区间的长度；2.会几何概型的概率公式的计算 13 解析：这是一个长度型几何概型问题，其概率为P=.13答案：