1、第十三节 导数的应用(1)基础梳理1.导数与函数单调性关系如果函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，那么，当f(x)0时，函数y=f(x)在该区间内是_；当f(x)0时，函数y=f(x)在该区间内是_；当f(x)=0时，函数y=f(x)在该区间内是_减函数增函数常数函数2.用导数求函数单调区间的步骤(1)分析y=f(x)的_；(2)求_；(3)解不等式_，解集与定义域取交集可求出增区间；(4)解不等式_，解集与定义域取交集可求出减区间定义域f(x)f(x)0f(x)03.函数的极值(1)极大值点与极大值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，
2、称_为函数y=f(x)的极大值点，其函数值_ 为函数的极大值(2)极小值点与极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极小值点，其函数值_ 为函数的极小值(3)极值与极值点 _与_统称极值，_和_统称为极值点 不大于 点x0 f(x0)点x0 不小于 f(x0)极大值 极小值 极大值点 极小值点 4.求函数y=f(x)的极值点的步骤(1)求出_(2)解方程_.(3)对于方程f(x)=0的每一个解x0，分析f(x)在x0 _的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为_；若f
3、(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为_；若f(x)在x0两侧的符号_，则x0不是极值点 导数f(x)f(x)=0左、右两侧极大值点极小值点相同基础达标1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，+)D 解析：f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.2.(教材改编题)函数y=f(x)定义在区间-2,9上，其导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)在区间(-2,9)上的极大值的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3C 解析：若f(x0)=0，则在x0的附近，当f(x)的符号由
4、正变负时，f(x)在x0处取得极大值，观察图象可知，在(-2,9)上，满足这样条件的x0有两个，故极大值有2个3.函数f(x)=x3+ax+1在(-，-1)上为增函数，在(-1,1)上为减函数，则f(1)=()13A.B.1 C.D.-17313C 解析：由题意知f(-1)=0，即1+a=0，a=-1，f(x)=x3-x+1，f(1)=13-1+1=1313解析：由题意f(x)=-3x2+2ax-10在R上恒成立，D=4a2-120，解得4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_3,333x经典例题题型一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2010湖南
5、改编)已知函数其中a0，且a-1.讨论函数f(x)的单调性f(x)=+x+(-1)ln x+15,aaax解：f(x)的定义域为(0，+)，(1)若-1a0，则当0 x-a时，f(x)0；当-ax1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，故f(x)分别在(0，-a)，(1，+)上单调递增，在(-a,1)上单调递减(2)若a-1，仿(1)可得f(x)分别在(0,1)，(-a，+)上单调递增，在(1，-a)上单调递减2211()1aaxaxfxxxx 已知函数y=ln x，则其单调减区间为_变式1-1(0,1)解析：函数的定义域为(0，+)，令y0，即，得0 x1.故f(x)的单调减区间是(0,1)
6、11yx 110 x【例2】(2010安徽改编)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.求f(x)的极值题型二 利用导数研究函数的极值解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.令f(x)=0，得x=ln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(-，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，+)，f(x)在x=ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a)x(-，ln 2)ln 2(ln 2，+)f(x)-0+f(x)极小值变式2-1 若函数f(x)=ax3-bx+4，当
7、x=2时，函数f(x)有极值-.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的极大值43解析：由题意可知f(x)=3ax2-b.(1)由题意得解得故所求的函数解析式为f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可知f(x)=x2-4=(x-2)(x+2)令f(x)=0得x=2或x=-2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表所示：2120428243fabfab 134.ab 1343-x(-，-2)-2(-2,2)2(2，+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值283故x=2时，f(x)有极大值.283.【例3】设a0，函数f(x)=x3-ax在(1，+)上是单调递增函数，求实数a的取值
8、范围题型三 利用导数求字母参数的取值范围解：方法一：f(x)=3x2a 令f(x)0，得 ，故f(x)的单调递增区间是 和 .又f(x)在(1，+)上是增函数，(1，+)是的 子集，即 ，0a3.a的取值范围是(0,33(0)33aaxxa33aax 或x,3a,3a,3a13a 方法二：f(x)=x3-ax在(1，+)上是单调递增函数，f(x)=3x2-a0在(1，+)上恒成立，即a3x2在(1，+)上恒成立x(1，+)时，3x23，a3.又a0，a的取值范围是(0,3(2011北京宣武区质检)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a，bR)若x=1为f(x)的极值点，求a的值
9、13变式3-1解析：f(x)=x2-2ax+a2-1=x-(a-1)x-(a+1)x=1是f(x)的极值点，f(1)=0，即a2-2a=0，解得a=0或a=2.易错警示【例】函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值错解：f(x)=3x2+2ax+b，由题意知f(1)=0，且f(1)=10，即2a+b+3=0，且a2+a+b+1=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.正解：f(x0)为极值的充要条件是f(x0)=0且f(x)在x0附近两侧的符号相反所以在错解后应该加上：当a=4，b=11时，f(x)=3x2+8x11=(3x+11)(x1)在x=1附近两
10、侧的符号相反，a=4，b=11满足题意；当a=3，b=3时，f(x)=3(x1)2在x=1附近两侧的符号相同，a=3，b=3应舍去综上所述，a=4，b=11.链接高考(2010安徽)设函数f(x)=sin x-cos x+1,0 x2p，求函数f(x)的单调区间与极值1.掌握公式(sin x)=cos x，(cos x)=-sin x，(xn)=nxn-1，以及求导法则f(x)g(x)=f(x)g(x)；2.掌握三角辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+F)(其中)；3.根据x，f(x)，f(x)的变化情况表求出f(x)的单调区间和极值22abtanba 解析：由f(x)=sin
11、 x-cos x+x+1,0 x2p，知f(x)=cos x+sin x+1，于是令f(x)=0，从而 ,得x=p或x=.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如表：2sin42xp 32p()12 sin4fxxp 32pp32p322pp32px(0，p)pf(x)+0-0+f(x)单调递增p+2单调递减单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为.3(0,)22ppp与32pp3322fpp(2)2f pp第十三节 导数的应用(2)基础梳理1.函数的最值：可导函数f(x)在闭区间a，b上所有点(包括端点a，b)处的函数值中的最大(或最小)值，叫做函
12、数f(x)在a，b上的_2.求函数y=f(x)在a，b上最值的步骤：(1)_；(2)_；(3)_.最大(或最小)值求函数f(x)在(a，b)内的极值将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值求f(x)在区间端点的值f(a)、f(b)3.利用导数解决实际问题中最值的步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量间的函数关系y=f(x)；(2)_(3)比较函数在区间端点和使f(x)=0的点处的函数值的大小，_为最大值，_为最小值最小者 求f(x)，解方程f(x)=0最大者4.生活中常见的函数优化问题有以下三种类型
13、：(1)_；(2)_；(3)_效率最高问题利润最大问题用料最省问题基础达标1.(教材改编题)函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值是()A.5 B.4 C.-4 D.-5解析：f(x)=6x2-6x-12，令f(x)=0，得x=-1或x=2，x0,3，易知x=2为极值点又f(0)=5，f(3)=-4，f(2)=-15，f(x)max=5.A2.(教材改编题)用一长为16 m的篱笆，围成一个矩形养鸡场，则此养鸡场的最大面积是()A.32 m2B.14 m2C.16 m2D.18 m2 解析：设长为x m，则宽为(16-2x)2=(8-x)m，面积S(x)=x(8-x)=-x2+8x
14、，其中0 x8，令S(x)=-2x+8=0，得x=4为极值点，且在(0,8)上是唯一的极值点，故x=4时，S(x)有最大值S(4)=-42+84=16(m2)C3.函数f(x)=x+2cos x在上取得最大值时，x的值是()A.0 B.C.D.6p3p2p0,2pB解析：f(x)=1-2sin x，令f(x)=0，得x=又f(0)=2，比较这三个数知最大，6p,32266ffpppp6fp6xp4.已知f(x)=2x3-6x2+m在-2,2上有最大值3，此函数在-2,2上的最小值为()A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对解析：f(x)=6x212x=6x(x-2)，令f(x)=0
15、得x1=0，x2=2，分别计算得f(2)=40+m，f(0)=m，f(2)=8+m，比较大小知f(0)最大，f(2)最小，m=3，f(2)=40+3=37.A5.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同交点，则m取值范围是_解析：y=3-3x2=-3(x+1)(x-1)，令y=0得x1=-1，x2=1为函数y=3x-x3的极值点，且验得在x1=-1处取极小值-2，在x2=1处取极大值2，结合图象知-2m2.(-2,2)经典例题【例1】已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=12x，且f(1)=12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(x)在3,1上的
16、最值题型一 利用导数求函数的最值解：(1)f(x)=12x2+2ax+b，且曲线y=f(x)在x=1处切线斜率为-12.解得 f(x)=4x3-3x2-18x+5.11221214512fabfab 318.ab (2)f(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3)，令f(x)=0得x1=1，x2=则x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：3231,2323,2614-x(-，-1)-1f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值16单调递减极小值单调递增x=13,1，且f(1)=16，f(3)=76，f(1)=12，f(x)在3,1上的最小值为76，最大值为16.(2010江西)设函数
17、f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a0)(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值12变式1-1解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，(1)当a=1时，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)22()2xfxxx 11()2fxaxx22(2)当x(0,1时，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a，因此a=.22()02xfxxx 12【例2】(2010全国)设函数f(x)=1e-x，求证：x1时，f(x)1xx 题型二 利用导数证明不等式问题证明：x1时，f(x)当且仅当ex1+
18、x，令g(x)=exx1，则g(x)=ex1.当x0时，g(x)0，g(x)在0，+)上是增函数；当x0时，g(x)0，g(x)在(，0上是减函数于是g(x)在x=0处取最小值，因而当xR时，g(x)g(0)，即ex1+x，所以当x1时，f(x)1xx 1xx 题型三 利用导数求最值解决实际问题【例3】(2010江苏)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=，则S的最小值是_2梯形的周长梯形的面积13解：设剪成的小正三角形的边长为x，则 令S(x)=0，0 x1，x=.当x 时，S(x)0，当x 时，S(x)0，故当x=时，S取得最小值是 .2223
19、43(0 x1)11331122xxSxxx 222426 132()123xxxxS xx 10,31,131332 33链接高考（2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件13知识准备：1.会利用f(x)g(x)=f(x)g(x)求导；2.在实际问题中，若求出f(x)=0在定义域中只有唯一根x0，则x0为极值点，也是最值点C 解析：y=x2+81，令y=0，x0，得x=9，函数在(0,9)上单调递增，在(9，+)上单调递减，因此x=9是函数的极大值点，也是最大值点，即函数在x=9(万元)处取最大值