1、第十二节 函数模型与应用基础梳理常用的几种函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=_二次函数模型f(x)=_指数函数模型f(x)=_对数函数模型f(x)=_幂函数模型f(x)=xn(n为常数)blogax+c(a0且a 1)ax+b，(a0)ax2+bx+c(a 0)bax+c(a0且a 1)基础达标1.在函数y=ex；y=100ln x；y=x100；y=1002x中，随x增大而增长速度最快的是_11002.据调查，某自行车寄存处在某星期天的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于
2、x的函数关系式为_解析:y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200，x0,4 000且xN.y=-0.1x+1 200，x0,4 000且xN3.某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_ 解析：设原价为a，应提价x，a(1-10%)(1+x)=ax11.11%.11.11%4.设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为_解析：y表示全路程，故全路程y最后为2a，排除；在乙地休息10分钟，说明该时间段内y不变(停止
3、于乙地)因此选，看图象时一定要关注每时刻的实际含义5.某商店将原价每台2 640元的彩电以9折出售后仍获利20%，则彩电每台进价为_ 解析：设进价为a，则2 64090%-a=20%a，解得a=1 980.1 980元经典例题题型一 一次函数与分段函数模型【例1】电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MNCD)试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？分析：由图可知，两种方案都因时间
4、段的不同导致收费不同，因此，需分段列式解：由图可知，两种方案都是由线性函数组成的分段函数，不妨用待定系数法，结合图形，先求出函数解析式，再根据题意解题由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MNCD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则98,060()380,6010Axfxxx 168,0500()318,50010Bxfxxx(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元(2)当x500时，fB(x+1)-fB(x)=(元)所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元(3)由图知，当0 x60时，fA(x)fB(x
5、)；当60293 分钟，即通话时间为293 分钟以上时，方案B才会比方案A优惠33(1)18180.31010 xx3()80,10AfxxfB(x)=168，联立得x=29313因此当60 x29313 时，fA(x)fB(x)当293x500时，fB(x)500时，显然fB(x)fA(x)131313变式1-1 南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)收费90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不
6、超过40小时(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x)；(2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由解析：(1)f(x)=5x,15x40，(2)若15x30，令5x=90，解得x=18，即当15x18时，f(x)g(x)；当x=18时，f(x)=g(x)；当18g(x)若3030+2x恒成立，即f(x)g(x)恒成立综上所述，当15x18时，小张选甲俱乐部比较合算；当x=18时，两家一样合算；当18x40时，小张选乙俱乐部比较合算90,1530()90230,30
7、40.xg xxx 题型二 二次函数模型【例2】2008年北京奥运会中国跳水队取得了辉煌的成绩据科学测算，跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面m，入水处距池边4 m，同时运动员在距水面5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾运动，并调整好入水姿势，否则就会出现失误(1)求抛物线的解析式；210 3(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为m，问此时跳水会不会失误？请通过
8、计算说明理由；(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势，距池边的水平距离至多应为多大？335分析：设出函数表达式，代入点的坐标计算，求出距离，进行判断23解：(1)由已知可设抛物线方程为y=a(x-h)2+(其中a0)又抛物线过点(0,0)和(2，-10)，代入解得a=-，h=，所以解析式为256252251063yxx(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 m时，即当x=3 -2=时，353585225 81081665353y 所以此时运动员距水面距离为10-=5，故此次跳水会出现失误163143(3)要使得某次跳水成功，必须10+y5，即y-5，亦
9、即，解不等式得，所以运动员此时距池边的水平距离最大为m.22510563yxx 23423455x2341234255变式2-1(2011启东中学期中考试)为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策已知某种酒每瓶60元，在不加收附加税时，每年大约销售90万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征收R元(叫做税率R%)，则每年的销售量将减少mR(m0)万瓶据测算税率为6%时，征收的附加税为108万元设此项经营中所收取的附加税为y.(1)求y=f(R)的表达式；(2)当y120(万元)时，试问税率R%应控制在什么范围内？解析：(1)若征收附加税，则每年的销售量为90-mR万瓶，此时征收的附加
10、税总额为：(90-mR)60R%万元，当R=6时，(90-mR)60R%=108，解得m=10，y=-6R2+54R(R0)(2)由题意得-6R2+54R120，R2-9R+200，4R5.税率R%应控制在4%,5%内题型三 指数函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市的人口总数(精确0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)？(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)分析：先列出
11、前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系，观察其规律，总结出y与x的函数关系解：(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%)，2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)2，3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2(1+1.2%)=100(1+1.2%)3，x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x(xN*)(2)10年后人口总数为y=100(1+1.2%)10112.7(万)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即10
12、0(1+1.2%)x=120，x=log1.0121.2015.28(年)因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人变式3-1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(1)求t年后，这种放射性元素质量的表达式；(2)求这种放射性元素的半衰期(精确到0.1年)解析：(1)最初的质量为500 g，经过1年，y=500(1-10%)=5000.91，经过2年，y=500(1-10%)2=5000.92，经过t年，y=5000.9t.(2)由题意5000.9t=250，即0.9t=0.5，两边取对数，有：tlg 0.9=lg 0.5，t=6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为
13、6.6年0.50.9lglg题型四 函数模型的综合应用【例4】(2010江苏苏北四市联考)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x)；时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018(2)在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？
14、(结果精确到1元)解：(1)由表中数据可知10,1,1010,11,20 x xPxx 210010Qx xN*，x1,20，xN*，y=100QP=1002210 10010 xx x1,20，xN*.(2)(x-10)2100-(x-10)2222101001025002xx 当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2，即x=10+5 时，y有最大值xN*，取x=3或17时，ymax=700 4 999(元)，此时，P=7(元)故第3或17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好251变式4-1 某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间
15、第x个月的利润(单位：万元)，为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中去，记第x个月的当月利润率g(x)=，例如：(1)求g(10)；(2)求第x个月的当月利润率g(x)；(3)该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率1,120,*()1,2160,*10 xxf xxxn NN3(3)8112fgff 1(10)90g解析:(1)(2)21,120,*80()2,2160,*.1600 xxxg xxxxxx NN(3)当1x20，g(x)max=g(1)=181当21x60，g(x)=2221160079811600121xxxx(当且仅当x=4
16、0时取等号)第40个月的当月利润率最大，最大值为.279链接高考(2010江苏)将边长为1的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=，则S的最小值是_知识准备：1.要善于依题意设自变量x；2.会求分式函数的最值；3.会利用转化思想将函数的最值问题转化为基本函数最值的研究32 33解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则223243(01)11331122xxSxxxx 方法一：利用导数求函数最小值2243(01)13xSxx 22222242613242 313()1133xxxxxxS xxx 令S(x)=0，0 x1，x=，当x时，S(x)0，S(x)递增；故当x=时，S最小，最小值是.方法二：利用函数的方法求最小值1310,31,131332 33令3-x=t，t(2,3)，11 13 2t，则2224418668331tStttt故当 138t,即x=时，S最小，最小值是.1332 33