1、11.2 排列与组合第十一章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照排成一列组合合成一组2.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同的个数组合数的个数一定的顺序排列组合3.排列数、组合数的公式及性质1常用结论【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)若组合
2、式 ,则x=m成立.()(5)排列中,给出的n个元素各不相同,被取出的元素也各不相同的情况.即如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.()2.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行,长三角城市群包括:上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()答案 B 3.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法种数为()A.18B.20C.21D.
3、22答案 B 4.2020年7月1日迎来了我国建党99周年,6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班,他们站成一排拍照留念时,要求同班的3名党员站在一起,且满足条件的每种排法都要拍一张照片,若将照片洗出来,每张照片0.5元(不含过塑费),且有一半的照片需要过塑,每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分),则每名老党员需要支付的照片费为()A.20.5元B.21元 C.21.5元D.22元答案 B 5.(2020广西柳州抽测)将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同的安排
4、方案共有种.答案 36关键能力 学案突破考点1考点2考点3考点1简单的排列应用题(多考向探究)考向1在与不在问题特殊元素(或位置)优先法【例1】6人站成一排,其中甲不能站在排头,乙不能站在排尾的不同排法共有种.考点1考点2考点3答案504考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法即以元素为主,优先考虑特殊元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法即以位置为主,优先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置.考点1考点2考点3变式发散6人站成一排,则甲既不站排头又不站排尾的站法有种.答案 480考点1考点2考点3对点训练1 6个人从左至右排成一行,最左
5、端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B 考点1考点2考点3考向2相邻问题捆绑法【例2】3名男生、3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为()A.2B.9C.72D.36答案 C 考点1考点2考点3解题心得在实际排列问题中,某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看成一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“捆绑法”.考点1考点2考点3对点训练2某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.
6、24D.32答案 C解析 将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有=6(种)方法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空位中,有4种方法,故共有46=24(种)方法.考点1考点2考点3考向3不相邻问题插空法【例3】某校高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()A.1 800 B.3 600C.4 320D.5 040答案 B 解题心得某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入已排好的元素的空隙或两端位置,这种方法称为“插空法”.考点1考点2考点3对点训练3某次
7、联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120 C.144D.168答案 B 考点1考点2考点3考向4定序问题等几率法【例4】有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有种.答案 840考点1考点2考点3考点1考点2考点3对点训练47个人排成一队参观某项目,其中A,B,C三人进入展厅的次序必须是先B再A后C,则不同的列队方式种数为()A.120B.240 C.420D.840答案 D 考点1考点2考点3考点2组合问题【例5】某市工商局对35
8、种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组
9、合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.考点1考点2考点3对点训练5(1)从4男2女共6名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,不同选法共有()A.156种B.168种C.180种 D.240种(2)2020年国庆假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲
10、车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种 B.24种C.48种D.36种考点1考点2考点3答案(1)B (2)B 考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点3分组与分配问题【例6】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考
11、点2考点3解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”;不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;限制条件的分配问题常采用分类法求解.考点1考点2考点3对点训练6(1)某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1,2,3的三个实验室实习,若要求每个实验室分配到的大学
12、生人数不小于该实验室的编号,则不同的分配方案的种数为()A.280B.455 C.355 D.350(2)(2020新高考全国1,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种 D.30种考点1考点2考点3(3)在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有()A.96种 B.124种C.130种 D.150种考点1考点2考点3答案(1)B (2)C(3)D 考点1考点2考点3本 课 结 束
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