1、抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.类型一已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域其解法是:若f(x)的定义域为a,b,则在fg(x)中,令ag(x)b,从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域.【例1】已知函数f(x)的定义域为-1,5,求f(3x-5)的定义域.【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1u5,即-13x-55,求x的取值范
2、围.解f(x)的定义域为-1,5,-13x-55,43x103,故函数f(3x-5)的定义域为43,103.类型二已知fg(x)的定义域,求f(x)的定义域其解法是:若fg(x)的定义域为mxn,则由mxn确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.【例2】已知函数f(x2-2x+2)的定义域为0,3,求函数f(x)的定义域.【解题指导】令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.解由0x3,得1x2-2x+25.令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),1u5.故f(x)的定义域为1,5.类型三已
3、知fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域其解法是:先由fg(x)的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f h(x)的定义域.【例3】函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域是()A.0,52B.-1,4C.-5,5D.-3,7答案A解析因为f(x+1)的定义域是-2,3,即-2x3,所以-1x+14,则f(x)的定义域是-1,4.由-12x-14,得0x52,所以f(2x-1)的定义域是0,52.故选A.类型四运算型的抽象函数求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.【例4】若函数f(x)的定义域是-3,5,求(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.解由f(x)的定义域为-3,5,则(x)必有-3-x5,-32x+55,解得-4x0.所以函数(x)的定义域为-4,0.
