1、2.6对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理1.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0,且a1,M0,N0,那么loga(MN)=;logaMN=;logaMn=(nR).(2)对数的性质:alogaN=N(a0,且a1,N0).(3)对数换底公式:logab=logcblogca(a0,且a1;b0;c0,且c1).3.对数函数的图像与性质函数y=logax(a0,且a1)a10a1时,y0;当0x1时,y1时,y0;当0x0在(0,+)内是在(0,+)内是4.反函数指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函
2、数(a0,且a1)互为反函数,它们的图像关于直线对称.1.对数的性质(a0,且a1,b0)(1)loga1=0;考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)log2x2=2log2x.()(2)函数y=log2x及y=log133x都是对数函数.()(3)当x1时,若logaxlogbx,则a0,且a1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1.()2.(2020陕西西安中学八模,理3)已知xlog32=1,则4x=()A.4B.6C.4log32D.93.(2020山东历城二中模拟四,3)已知a=log1516,b=log133,c=3-13,则a,b,c
3、的大小关系是()A.bacB.acbC.cbaD.bc0,且a1)的值域为y|0y1,则函数y=loga|x|的图像大致是()5.(2020河北保定一模,理13)若2a=10,b=log510,则1a+1b=.关键能力学案突破考点对数式的化简与求值【例1】化简下列各式:(1)lg37+lg 70-lg 3-(lg3)2-lg9+1;(2)log34273log5412log210-(33)23-7log72.思考对数运算的一般思路是什么?解题心得对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同
4、底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对点训练1(1)(2020全国1,文8)设alog34=2,则4-a=()A.116B.19C.18D.16(2)(2020山东泰安一模,5)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当x-2,2)时,f(x)=13x-x-4,则f(-log36)+f(log354)=()A.32B.32-log32C.-12D.23+log32考点对数函数的图像及其应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图像大致是()(2)已知当0x12时,4x=logax有解,则实数a的取值范围是.变式发散将本例(2)中的“4
5、x=logax有解”改为“4xlogax”,则实数a的取值范围为.解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)函数f(x)=loga|x|+1(0a1)的图像大致是()(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3考点对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较含对数的函数值的大小【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=l
6、og53,c=23,则()A.acbB.abcC.bcaD.cab(2)(2020河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则()A.abaca+bB.a+babacC.acaba+bD.aba+bac解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).对点训练3(1)(2020山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则()A.abcB.acbC.bacD
7、.cab(2)(2020全国3,理12)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.ca0,log12(-x),xf(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如logaf(x)logag(x)(a0,且a1)的不等式,再借助y=logax的单调性求解,当a1时,logaf(x)logag(x)f(x)0,g(x)0,f(x)g(x),当0alogag(x)f(x)0,g(x)0,f(
8、x)g(x).对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x(0,+)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)0,且a1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.对点训练5(1)(2020山东潍坊一模,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log2
9、5),c=f(2m),则()A.abcB.acbC.cabD.cb1和0a0的条件,当nN+,且n为偶数时,在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|.2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)定义域优先的原则.(2)要有分类讨论的意识.2.6对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理1.(1)指数对数幂真数底数(2)a0,且a12.(1)logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM3.(0,+)(1,0)增函数减函数4.y=logaxy=x考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.Dxlog32=1,x=log23,4x=4log23=4log49=9,故选D.3.
10、Da=log1516log1515=1,b=log133log131=0,c=3-13=133,则0c1,所以bc0,且a1)的值域为y|0y1,则0a1时不满足条件,当0a1时,画出两个函数在0,12上的大致图像,如图所示.可知,只需两图像在0,12上有交点即可,则f12g12,即2loga12,则01时不满足条件,当0a1时,f12g12,即222,所以a的取值范围为22,1.对点训练2(1)A(2)C(1)由于函数f(x)=loga|x|+1(0a0时,f(x)=loga|x|+1(0a1)递减;当x0时,f(x)=loga|x|+1(0a1)递增.再由图像过点(1,1),(-1,1),
11、可知应选A.(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数即为方程|log2x|=12x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=12x的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.例3(1)A(2)D(1)32a=32log32=log3223=log981,a1,b23.又c=23,acb.故选A.(2)0=log0.31log0.30.5log0.30.3=1,即0a1;log30.5log31=0,即b0;0=log0.51log0.50.9log0.50.5=1,即0c1,ab0,0ac1,即有abac.1a+1b=log0.50.3+log
12、0.53=log0.50.9=c,即0a+bab=c1,aba+b0.综上,aba+bac.故选D.对点训练3(1)B(2)A(1)log51log52log55,0alog24=2,0.510.50.20.50,12c1,acb,故选B.(2)43a=43log53=log5334=log125811,a1,b34.5584,54b=54log85=log84551,b45.1341,c45.综上,ab0,log2a-log2a或alog2(-a),解得a1或-1a0.故选C.对点训练4(1)(-,-2)0,12(2)x|4x5(1)由已知条件可知,当x(-,0)时,f(x)=-log2(-
13、x).当x(0,+)时,f(x)-1,即为log2x-1,解得0x12;当x(-,0)时,f(x)-1,即为-log2(-x)-1,解得x-2.所以f(x)0,x-31,x-1(x-3)2或x-10,0x-31,x-1(x-3)2,解得4x5,故原不等式的解集为x|40,1-x0,解得-1x1.故所求函数的定义域为x|-1x1.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为x|-1x1时,f(x)在定义域x|-1x0,得x+11-x1,解得0x1.所以x的取值范围是(0,1).对点训练5(1)C(2)0,16(1,+)(1)根据题意,有f(-x)=f(x),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,则f(x)=2|x|-1=2x-1,x0,2-x-1,x0.则f(x)在(0,+)上递增,a=f(-ln3)=f(ln3),b=f(log25),c=f(20)=f(1),又01ln32log25,则ca1时,f(t)为定义域上的增函数,所以要保证t=ax2-x+3在1,3上递增,所以12a1,a-1+30,a1,解得a1.当0a0,0a1,解得0a16.故a的取值范围为0,16(1,+).
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