1、课时素养评价十四合 情 推 理(15分钟30分)1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】选B.根据合情推理定义可知,合情推理必须有前提有结论.2.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()A.an=3n-1B.an=3nC.an=3n-2n D.an=3n-1+2n-3【解析】选A.第2个图形中有3个着色三角形,第3个图形中有33个着色三角形,第4个图形中有39个着色三角形,以此类推:第n个图形中有3n-1个着色三角形.3.平面内有n条直线,最
2、多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=个区域.4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为_.【解析】因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为18.答
3、案:185.已知在RtABC中,ABAC,ADBC于点D,有=+成立.那么在四面体A -BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,说明猜想是否正确并给出理由.【解析】类比ABAC,ADBC,可以猜想四面体A -BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD.则=+.猜想正确.理由如下:如图所示,连接BE,并延长交CD于F,连接AF.因为ABAC,ABAD,所以AB平面ACD.而AF平面ACD,所以ABAF.在RtABF中,AEBF,所以=+.在RtACD中,AFCD,所以=+.所以=+,故猜想正确.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列an的前n项和Sn=n2a
4、n(n2),且a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于()A.B.C.D.【解析】选B.由a1=1,S2=22a2=a1+a2得a2=,由a1+a2+a3=9a3得a3=,由a1+a2+a3+a4=42a4得a4=,猜想an=.2.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于()A.B.C.D.【解析】选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为13,故=.3.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,
5、0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签2 0172的格点的坐标为()A.(1 009,1 008)B.(1 008,1 007)C.(2 017,2 016)D.(2 016,2 015)【解析】选A.由题意得12(1,0),32(2,1),52(3,2),所以2 0172(1 009,1 008).4.将正整数排列如图:12345678910111213141516则2 018出现在()A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第82列D.第45行第82列【解析
6、】选D.由题意可知第n行有(2n-1)个数,则前n行的数的个数为1+3+5+(2n-1)=n2,因为442=1 936,452=2 025,且1 9362 0182)共有_个顶点.【解析】第1个图有3+33=43个顶点;第2个图有4+44=54个顶点;第3个图有5+55=65个顶点;第4个图有6+66=76个顶点;第n个图有(n+3)(n+2)个顶点.第n-2个图有(n+1)n=(n2+n)个顶点.答案:(n2+n)7.在平面中,ABC的ACB的平分线CE分ABC面积所成的比=,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E,则类比的结论为_.【解析
7、】平面中的面积类比到空间为体积,故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积,故类比成.故有=.答案:=8.已知f(x)=,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN*,则f2 019(x)的表达式为_.【解析】由题意,得f1(x)=f(x)=,f2(x)=,f3(x)=,由此归纳推理可得f2 019(x)=.答案:f2 019(x)=三、解答题(每小题10分,共20分)9.在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为,则cos2+cos2=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.【解析】如图,在矩形ABCD中,cos2+cos2 =+=1.于是类比到长方体中,猜
8、想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为,则cos2+cos2+cos2=1,证明如下:如图,cos2+cos2+cos2=+=1.10.若a1,a2R+,则有不等式成立,此不等式能推广吗?请你至少写出两个不同类型的推广.【解析】可以从a1,a2的个数以及指数上进行推广.第一类型:,.第二类型:,.第三类型:,.如图所示为m行m+1列的士兵方阵(mN*,m2).(1)写出一个数列,用它表示当m分别是2,3,4,5,时,方阵中士兵的人数;(2)若把(1)中的数列记为an,归纳该数列的通项公式;(3)求a10,并说明a10表示的实际意义;(4)问9 900是数列的第几项?【解析】(1)当m=2时,表示一个2行3列的士兵方阵,共有6人,依次可以得到当m=3,4,5,时的士兵人数分别为12,20,30,故所求数列为6,12,20,30,(2)因为a1=23,a2=34,a3=45,所以猜想an=(n+1)(n+2),nN*.(3)a10=1112=132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n+1)(n+2)=9 900,所以n=98,即9 900是数列的第98项.