1、第二节空间几何体的表面积与体积热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查几何体的表面积和体积的计算，与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等.本节通过空间几何体的表面积和体积考查转化与化归思想的应用，提升考生直观想象和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第125页知识点柱、锥、台和球的面积和体积1柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh续表侧面积体积正棱台S侧(
2、CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和 温馨提醒 二级结论1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体
3、的外接球与内切球的半径之比为31.必明易错1求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错2易混侧面积与表面积的概念1体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12BC8D4答案：A2已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为_答案：123如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案：147授课提示：对应学生用书第125页题型一空间几何体的表面积自主探究1一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半且侧面积是32，则母线长为()A2B2C
4、4D8解析：圆台的轴截面如图，由题意知，l(rR)，S圆台侧(rR)l2ll32，l4.答案：C2若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A.BC.D解析：如图所示，正方体的A、C、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为a.正方体表面积S16a2，正四面体表面积为S24(a)22a2，.答案：A空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图及轴截面的应用.题型二空间几何体的体积自主探究1(2021重庆南开中学期末)在梯形ABC
5、D中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.BC.D2解析：由题意可知几何体的直观图如图所示，该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的圆锥得到的，其体积为122121.答案：C2. (2021四川资阳二诊)已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)若底面圆的弦AB所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()A103B10C.D23解析：设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V1，DC将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的面积
6、为S1，则S12222，依题意可得V1S1h3103.答案：A3(2021八省联考模拟卷)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，则圆台的高OO 3，据此可得圆台的体积：V3(525442)61.答案：61求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其
7、体积(3)等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.题型三与球有关的切、接问题多维探究与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考查的难点、易失分点，命题角度多变归纳起来，常见的命题角度有：(1)外接球问题；(2)内切球问题.考法(一)外接球问题例1(1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABC.D(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的
8、高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.B16C9D(3)(2020新高考全国卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_解析(1)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r .圆柱的体积为Vr2h1.(2)如图所示，作正四棱锥PABCD，设球的半径为R，正四棱锥底面中心为O且球心为O，在正四棱锥PABCD中，AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242.(3)
9、如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD为等边三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，则D1E且D1E平面BCC1B1，E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r.又由题可得EPEQ，球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P，B1P1，同理C1Q1，P，Q分别为BB1，CC1的中点，PEQ，知的长为.答案(1)B(2)A(3)考法(二)内切球问题例2(1)(2020高考全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大
10、的球的体积为_(2)已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为_解析(1)圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB中，PAPB3，D为AB的中点，AB2，E为切点，则PD2，PEOPDB，故，即，解得r，故内切球的体积为3. (2)正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案(1)(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：题组突破1(2021
11、武汉市武昌区高三调考)已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且ABBCAD1，BDAC，BCAD，则球O的体积为()A.BC2D4解析：由题，ABBC1，AC，所以AB2BC2AC2，所以CBA，即BCAB，又BCAD，所以BC平面ABD，因为ABAD1，BD，所以AB2AD2BD2，所以ABAD，此时可将点A，B，C，D看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为正方体的外接球，设球O的半径为R，故2R，所以R，则球O的体积VR3.答案：A2(2021南宁模拟)体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为_解析：设球的半径为R，由R3，得R1，所以正三棱柱的高h2.设底面边长为a，则a
12、1，所以a2.所以V(2)226.答案：6与球有关的切、接问题中的核心素养直观想象确定球心位置的策略方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法策略一利用球的定义确定球心素养解读若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点
13、；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心例1已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A16B20C24D32答案C策略二构造长方体或正方体确定球心素养解读(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥
14、含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体例2在正三棱锥S ABC中，AB，M是SC的中点，AMSB，则正三棱锥S ABC的外接球的表面积为_解析取AC的中点N，连接BN，SN，AM，因为SASC，所以ACSN.又ABC是等边三角形，所以ACBN，AC平面BSN，所以ACSB.又AMSB，ACAMA，故SB平面SAC，SBSA且SBSC，故SA，SB，SC两两垂直，可以看作是从一个棱长为1的正方体上切下来的一个正三棱锥，如图所示，故正三棱锥S ABC的外接球的直径为，所以半径为，故正三棱锥S ABC的外接球的表面积为42
15、3.答案3策略三利用球的几何性质确定球心素养解读利用球心O与截面圆圆心O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心例3正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为_解析如图，M为底面BCD的中心，易知AMMD，DM1，AM.在RtDOM中，OD2OM2MD2，即OD2(OD)21，解得OD，故球O的表面积为42.答案题组突破1(2021衡阳模拟)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A6B12C18D24答案：C2(2021揭阳模拟)在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球的体积为()A.B2C3D4答案：A
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有