1、第五章综合训练一、单项选择题1.一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q的值为()A.32B.5C.5-12D.1+522.(2022黑龙江鹤岗一中高二期中)在等比数列an中,若a5=9,则log3a4+log3a6=()A.2B.3C.4D.93.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3
2、474块C.3 402块D.3 339块4.等差数列an中,a3=16,a7=8,Sn是数列an的前n项和,则使得数列Snn的前n项和最大的n的值为()A.20B.21C.20或21D.21或225.已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=()A.1 024B.2 048C.1 023D.2 0476.设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=()A.15B.19C.21D.307.在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C
3、.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项8.已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 022=()A.122 022-72B.32 022-6C.-22 022-1D.22 022-1二、多项选择题9.已知数列an满足an=nkn(nN+,0k1),下列说法正确的有()A.当k=12时,数列an为递减数列B.当k=45时,数列an一定有最大项C.当0k0时,a10+a220D.当d|a22|11.(2022福建厦门一中高二期中)在数列an中,a1=1,数列1an+1是公比为2的等比数列,设Sn为数列an的前n项和,则()A.an=12n-1B.an=12n+12C.数列a
4、n为递减数列D.S6212.记数列an的前n项和为Sn,若存在实数H,使得对任意的nN+都有|Sn|H,则称数列an为“和有界数列”.下列说法正确的是()A.若an是等差数列,且公差d=0,则an是“和有界数列”B.若an是等差数列,且an是“和有界数列”,则公差d=0C.若an是等比数列,且公比|q|1,则an是“和有界数列”D.若an是等比数列,且an是“和有界数列”,则an的公比|q|1三、填空题13.已知数列an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.14.数列an满足a1=3,且对于任意的nN+,都有an+1-an=n+2,则a39
5、=.15.数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.16.设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列.已知数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1(nN+),则d+q的值是.四、解答题17.(2022海南模拟预测)已知各项均为正数的数列an满足a1=1,an2+an+22=2an+12且a4-a2=2a4+a2.(1)求数列an2的通项公式;(2)求满足不等式an+5+10,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列anbn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.21.某地出现了虫害,农业
6、科学家引入了“虫害指数”数列In,In表示第n周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫.由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一:策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足In+1=1.02In-0.20;策略B:杀灭害虫,“虫害指数”数列满足In+1=1.08In-0.46.当某周“虫害指数”小于1时,危机解除.(1)设第一周的虫害指数I11,8,用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小?(2)设第一周的虫害指数I1=3,如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?22.已知数列an,bn,cn满足a1=b1=c1=1,cn=an+1-
7、an,cn+1=bnbn+2cn,nN+.(1)若bn为等比数列,公比q0,且b1+b2=6b3,求q的值及数列an的通项公式;(2)若bn为等差数列,公差d0,证明:c1+c2+cn0,即q2+q-1=0,所以q=5-12,故选C.2.C等比数列an中,因为a5=9,所以a4a6=a52=81,所以log3a4+log3a6=log3(a5)2=log381=4.故选C.3.C由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形
8、石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+272629=3402.故选C.4.C设等差数列an的公差为d,因为a3=16,a7=8,可得d=a7-a37-3=8-164=-2,则a1=a3-2d=20,所以an=20+(n-1)(-2)=22-2n,所以Sn=n(20+22-2n)2=n(21-n),所以Snn=21-n,可得当n0;当n=21时,Snn=0;当n21时,Snn0.所以当n=20或n=21时,数列Snn的前n项和取得最大值.故选C.
9、5.C因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a10=a10-a9+a9-a8+a2-a1+a1=29+28+2+1=1-2101-2=1023,故选C.6.B设数列an的公差为d.由S3=a22,得3a2=a22,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列可得S22=S1S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=2a2d,又d0,a2=3,d=2,a1=1,an=1+2(n-1)=2n-1,a10=19.7.B由题意可知,等差数列的公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,则其通项
10、公式为an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)2=2n-11,注意到a1a2a3a4a50a6=1a7,且由T50可知Ti1(i7,iN)可知数列Tn不存在最小项,由于a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故数列Tn中的正项只有有限项:T2=63,T4=6315=945.故数列Tn中存在最大项,且最大项为T4.故选B.8.C当n=1时,3S1=3a1=2a1-3,解得a1=-3;当n2时,由3Sn=2an-3n可得3Sn-1=2an-1-3(n-1),上述两式作差得3an=2an-2an-1-3,所以an=-2an-1-3,所以an+1=-2(an-1+1),
11、所以an+1an-1+1=-2,所以数列an+1是以a1+1=-2为首项,以-2为公比的等比数列,所以a2022+1=-2(-2)2021=-22022,因此a2022=-22022-1.故选C.9.BCD当k=12时,a1=a2=12,A错误;当k=45时,an+1an=45n+1n,若n1,若n4,an+1an1,所以可判断数列an一定有最大项,B正确;当0k12时,an+1an=kn+1nm,即nm+1时,数列an为递减数列,当n0,故C正确.对选项D,a10=a1+9d=-292d+182d=-112d,a22=a1+21d=-292d+422d=132d,因为d0,所以|a10|=-
12、112d,|a22|=-132d,|a10|a22|,故D错误.故选BC.11.AC因为a1=1,数列1an+1是公比为2的等比数列,所以1an+1=22n-1=2n,所以an=12n-1,A正确,B错误;根据指数函数的性质及反比例函数性质,可知数列an为递减数列,C正确;因为12n-112n-2n-1=12n-1,当且仅当n=1时,等号成立,所以S61+12+122+123+124+125=1-1261-12=2-1252,D错误.故选AC.12.BC若数列an是等差数列,则Sn=na1+n(n-1)d2=d2n2+a1-d2n.对于A选项,当d=0时,Sn=na1,若a10,根据一次函数的
13、性质可知,此时不存在符合题意的H.所以A选项错误;对于B选项,数列an是“和有界数列”,而Sn=d2n2+a1-d2n,若d0,根据二次函数的性质可知,此时不存在符合题意的H,故d=0.所以B选项正确;若数列an是等比数列,则Sn=a1(1-qn)1-q=-a11-qqn+a11-q.对于C选项,若|q|1,则|Sn|=a11-qa11-qqna11-q+a11-qqn2a11-q,则an是“和有界数列”.所以C选项正确;对于D选项,若数列an是等比数列,且是“和有界数列”,q的取值可能为-1,此时|Sn|a1|,所以存在实数H,使得对任意的nN+,都有|Sn|0,得an=n,所以原不等式即n
14、+5+12n,两边平方可得n+6+2n+54n,即2n+53n-6,所以4(n+5)0,解得n4或n0,d=-10应舍去,d=2,b1=3,bn=2n+1.故anbn=(2n+1)3n-1.(2)由(1),知Tn=31+53+732+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-,得-2Tn=31+23+232+233+23n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+3n-1)-(2n+1)3n=3+23-3n1-3-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n3n.Tn=n3n.21.解(1)由题意可知,使用策略
15、A时,I2=1.02I1-0.20;使用策略B时,I2=1.08I1-0.46.令1.02I1-0.20-(1.08I1-0.46)0,解得I1133,即当I11,133时,使用策略B第二周严重程度更小;当I1=133时,使用两种策略第二周严重程度一样;当I1133,8时,使用策略A第二周严重程度更小.(2)由(1)可知,最优策略为策略B,即In+1=1.08In-0.46,In+1-234=1.08In-234,所以数列In-234是以-114为首项,1.08为公比的等比数列,所以In-234=-1141.08n-1,即In=-1141.08n-1+234,令In0,得bn+10,因此c1+c2+c3+cn1+1d,nN+.
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