1、培优课等差数列习题课必备知识基础练1.在等差数列an中,已知a1=13,a1+a6=4,an=37,则n的值为()A.50B.49C.56D.512.设等差数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S20=30,则S30的值为()A.20B.30C.40D.503.(2022河南许昌三模)设等差数列an的前n项和为Sn,若a7+a8=a4+8,则S21的值为()A.28B.148C.168D.2484.设数列an是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS6D.S6与S7均为Sn的最大值5.已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三
2、人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.戊所得为()(“钱”是古代的一种质量单位)A.34钱B.23钱C.12钱D.43钱6.记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.7.在等差数列an中,若a10,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1为整数,a2=-13,SnS8,则数列an的通项公式为an=.9.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,则a
3、18的值为.10.将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.11.已知在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.12.已知各项都不相等的等差数列an的前6项和为60,且满足a62=a1a21.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an,且b1=3,求数列1bn的前n项和Tn.关键能力提升练13.(多选题)已知数列an是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10
4、=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=014.(2022湖南长沙一中高二阶段练习)两旅客坐高铁外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知高铁一等座的部分座位号码如图所示,则下列座位号码符合要求的是()A.74,75B.52,53C.41,42D.38,3915.已知数列an的前n项和Sn=14n2+23n+3(nN+),则下列结论正确的是()A.数列an是等差数列B.数列an是递增数列C.a1,a5,a9成等差数列D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列16.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1).(1)求数列an的通项公式an;(2)是否存在正
5、整数n,使得S11+S22+Snn-(n-1)2=2 022?若存在,求出n值;若不存在,请说明理由.17.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天行驶的路程之和为多少?学科素养创新练18.在bn=1Sn,bn=|an-S6|这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.设等差数列an的前n项和为Sn,a4=3a1,S3=15,满足,求数列bn的
6、前n项和Tn.参考答案培优课等差数列习题课1.C设数列an的公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=13,所以d=23,所以an=13+(n-1)23=37,所以n=56.2.B由等差数列an的前n项和的性质可得,S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列,2(S20-S10)=S10+(S30-S20),2(30-20)=20+S30-30,解得S30=30.3.C由等差数列的性质可得a7+a8=a4+8=a4+a11,则a11=8,因此S21=21(a1+a21)2=21a11=218=168.故选C.4.C由于S5S8,所以S6-S5=a60,S7-S6=a7=0,S8
7、-S7=a80,所以d0,S6与S7均为Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a80,所以S9S6,所以C选项错误.故选C.5.B依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人分五钱,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,则a+2d=a+2-a6=2a3=23.故选B.6.25设等差数列an的公差为d.a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.S10=10a1+1092d=
8、-20+45=25.7.12由S7=S17,知a8+a9+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=a12+a13,因此a12+a13=0,又a10,从而a120,故Sn的最小值为S12.8.2n-17设等差数列an的公差为d,则a1=a2-d=-13-d,d为整数,所以Sn=na1+n(n-1)2d=(-13-d)n+n(n-1)2d=d2n2-13+3d2n,由SnS8,结合二次函数的图象与性质可得d0,152-(13+3d2)2d2172,解得137d136,所以d=2,所以an=a2+(n-2)d=-13+2(n-2)=2n-17.9.3由题意可得an+an+1=5,
9、an+1+an+2=5,an+2-an=0.a1=2,a2=5-a1=3,当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2,a18=3.10.3n2-2n数列2n-1的项均为奇数,数列3n-2的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然3n-2中的所有奇数均能在2n-1中找到,所以2n-1与3n-2的所有公共项就是3n-2的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列an为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以an的前n项和为n1+n(n-1)26=3n2-2n.11.解(1)设数列an的公差为d.a16+a17+a18=a9=-18,a17=-6,d=a17-a917-9=32,a1=a9-
10、8d=-30,an=32n-632,Sn=34n2-1234n.设前n项和的最小值为Sk,则ak0,ak+10(kN+),即3k2-6320,32(k+1)-6320,k=20或k=21.故当n=20或21时,Sn取最小值,最小值为S20=S21=-315.(2)由an=32n-6320,得n21.当n21时,Tn=-Sn=34(41n-n2).当n21时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21=34(n2-41n)+630.12.解(1)设等差数列an的公差为d(d0),则6a1+15d=60,a1(a1+20d)=(a1+5d)2,解得d=2,a1=5.则an=2n+3.
11、(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n2),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2)(n2),b1=3满足上式,bn=n(n+2),1bn=1n(n+2)=121n-1n+2,Tn=121-13+12-14+1n-1n+2=1232-1n+1-1n+2=3n2+5n4(n+1)(n+2).13.AB因为数列an是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,
12、即选项B正确;当d0时,则S9或S10最小,当d0时,则S9或S10最大,即选项C错误;又S19=19a10=0,a200,所以S200,即选项D错误.故选AB.14.C依题意,靠左侧窗口的座位号均为奇数,构成以1为首项,4为公差的等差数列an,故其通项an=4n-3,显然选项ABD不是靠左侧窗口的座位号,而C满足;靠右侧窗口的座位号均为偶数,构成以4为首项,4为公差的等差数列bn,则其通项bn=4n,显然选项ABD都不是靠右侧窗口的座位号,所以座位号码符合要求的是41,42.故选C.15.D当n2时,an=Sn-Sn-1=14n2+23n+3-14(n-1)2+23(n-1)+3=12n+5
13、12;当n=1时,a1=S1=4712,不满足上式,数列an不是等差数列.a2=1712a1=4712,数列an不是递增数列.2a5-a1-a9=2125+512-4712-129+512=-30,a1,a5,a9不成等差数列.S6-S3=12(4+5+6)+5123=354,S9-S6=12(7+8+9)+5123=534,S12-S9=12(10+11+12)+5123=714,5324354714=0,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.故选D.16.解(1)由an=Snn+2(n-1),得Sn=nan-2(n-1)n.当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-
14、(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),整理,得an-an-1=4,则数列an为首项为1,公差为4的等差数列,所以an=1+4(n-1)=4n-3.(2)由(1),得Sn=(2n-1)n,得Snn=2n-1,得S11+S22+Snn=n2.令n2-(n-1)2=2022,解得n=20232N+.因此不存在满足题意的正整数n.17.解由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列an,其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)a15=-1015+250=100,到下午6时,最后一辆车行驶了100min.(2)这
15、支车队所有车辆行驶的总时间为240+100215=2550(min)=852(h),这支车队当天行驶的路程之和为85260=2550(km).18.解设数列an的公差为d.因为a4=3a1,S3=15,所以a1+3d=3a1,3a1+3d=15,即a1=3,d=2,所以an=2n+1,Sn=n(n+2).若选条件:bn=1Sn,则bn=1n(n+2)=121n1n+2.所以Tn=b1+b2+b3+bn=121-13+1214+1315+1n1n+2=12321n+11n+2=342n+32(n+1)(n+2).若选条件:bn=|an-S6|,则bn=|2n-47|=47-2n,n23,2n-47,n24.所以当n23时,Tn=b1+b2+bn=n(b1+bn)2=n(45+47-2n)2=46n-n2;当n24时,Tn=T23+b24+bn=529+(b24+bn)(n-23)2=n2-46n+1058,所以Tn=46n-n2,n23,n2-46n+1058,n24.
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