1、第五章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2022年长治月考)下列求导不正确的是()A(3x5)39(3x5)2B(x3lnx)3x2lnxx2CD(2xcosx)2xln2sinx【答案】C【解析】(3x5)3(3x5)3(3x5)29(3x5)2，故A正确；(x3ln x)(x3)ln xx3(ln x)3x2ln xx2，故B正确；，故C错误；(2xcos x)(2x)(cos x)2xln 2sin x，故D正确故选C2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Axy20Bxy20Cx
2、4y50Dx4y50【答案】B【解析】y，y|x11，y11(x1)，即xy20.3设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()AB0CD5【答案】B【解析】由切线斜率的几何意义和周期函数的意义，知f(5)f(0)0.4已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如右图所示，则yf(x)()A在(，0)上单调递减B在x0处取极小值C在(1，2)上单调递减D在x2处取极大值【答案】C【解析】在(，0)上，f(x)0，故f(x)在(，0)上单调递增，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(1，2)上，f(x)0，f(x
3、)单调递减，C对；在x2处取极小值，D错5函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即0，解得a.6(2021年山东诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A3f(1)f(3)B3f(1)f(3)C3f(1)f(3)Df(1)f(3)【答案】B【解析】由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此y在R上单调递减，所以f(3)7(2022年丽江期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，0，且f(1)0，则不等
4、式0的解集是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(，1)(0，1)D(1，0)(1，)【答案】D【解析】由题意知，当x0时，0，则函数在(0，)上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断是定义在(，0)(0，)上的奇函数，所以在(，0)上单调递增，而f(1)0，则0，0.所以当x(1，0)(1，)时，0.故选D8(2022年汕头三模)已知函数f(x)(x1)exae2xax只有一个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0B(，0C(，0D0，)【答案】A【解析】f(x)(x1)exae2xax，f(x)xexae2xa.f(x)只有一个极值点，f(x)只有一个变号零点(1)
5、当a0时，f(x)xex，易知x0是f(x)的唯一极值点；(2)当a0时，方程f(x)xexae2xa0可化为xexex，令g(x)x，h(x)exex，可得两函数均为奇函数，只需判断x0时，两函数无交点即可当a0时，g(x)x0，h(x)exex0，g(x)与h(x)有唯一交点x0，且当x0时，g(x)h(x)，当x0时，g(x)h(x)，x0是f(x)的唯一极值点；当a0时，h(x)exex0，即h(x)在(0，)上单调递增，且h(0)0，h(x).设h(x)过原点的切线为ykx，切点为(m，km)(m0)，则，解得m0，k2，如图所示，当yx在直线y2x下方(第一象限)或与y2x重合时，
6、x0是唯一交点，能满足f(x)0的变号零点，即函数f(x)的极值点，a.综上所述，实数a的取值范围为(，0.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若直线l与曲线C满足下列两个条件：直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C下列命题正确的是()A直线l：y0在点P(0，0)处“切过”曲线C：yx3B直线l：x1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y(x1)2C直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ysinxD直线l：yx在点P
7、(0，0)处“切过”曲线C：ytanx【答案】ACD【解析】y3x2，y|x00，所以l：y0是曲线C：yx3在点P(0，0)处的切线，显然曲线C：yx3在点P(0，0)附近位于直线l，即x轴的两侧，A正确；因为y2(x1)，y|x10，而直线l：x1的斜率不存在，所以l：x1不是曲线C：y(x1)2在点P(1，0)处的切线，B错误；ycos x，y|x01，在点P(0，0)处的切线为l：yx.令g(x)sin xx，g(x)cos x10，所以g(x)是上的单调减函数，且g(0)0，所以曲线C：ysin x在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，C正确；y，y|x01，在点P(0，0)处的切线
8、为l：yx，所以曲线C：ytan x在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，D正确10(2022年运城期末)已知f(x)是函数f(x)的导函数，函数f(x)对任意的xR，都满足f(x)f(x)，则下列不等式成立的是()Aef(0)f(1)Cf(2)e4f(2)【答案】AD【解析】令g(x)(xR，e2.718 28)，g(x)，因为f(x)f(x)，ex0，所以g(x)0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(0)g(1)，即，即ef(0)f(1)，所以A正确，B错误；g(2)g(2)，即e4f(2)，所以C错误，D正确故选AD11(2022年扬州开学)已知函数f(x)aexsinx(aR)，则下
9、列说法中正确的有()A当a2时，f(x)在x0处的切线方程为yx2B当a1时，f(x)在上恰有2个零点C当a0时，f(x)0在上恒成立【答案】ABC【解析】f(x)aexsin x(aR)，当a2时，f(x)2exsin x，f(x)2excos xf(0)211，又因为f(0)2，故f(x)在x0处的切线方程为y(2)(x0)，即yx2，故A正确；当a1时，f(x)exsin x，令f(x)0，得exsin x，作出函数yex与ysin x的大致图象，由图知，yex与ysin x在上恰有2个交点，即当a1时，f(x)在上恰有2个零点，故B正确；当a0且x时，f(x)aexcos x0，故f(
10、x)在上单调递减，故C正确；取a1时，f(x)exsin x，fe1kx恒成立C函数yf(x)2有两个零点D对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f(x1)f(x2)，则x1x20，若xR，恒有f(x)0，则的最小值是_【答案】2【解析】二次函数f(x)ax2bxc(a0)的导数为f(x)2axb，由f(0)0，得b0.又对xR，恒有f(x)0，则a0，且b24ac0，故c0，所以121212，当且仅当ac时，取等号，所以的最小值为2.16(2022年北京月考)已知函数f(x)则函数f(x)的值域为_若函数g(x)f(x)k有3个零点，则k的范围是_【答案】1，)(e2，0)【解析】因为f
11、(x)当x1时，f(x)(x1)ex，则f(x)(x2)ex，当x2时f(x)0，当2x0，即f(x)在(，2)上单调递减，在(2，1)上单调递增，则当x2时取得极小值，且f(2)e2，当x1时，f(x)x22x(x1)21，函数图象如下所示，由函数图象可知函数的值域为1，)，函数g(x)f(x)k有3个零点，即yf(x)与yk有3个交点，所以e2k0，即k(e2，0)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处有极小值1.(1)求a，b；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由已知，可得f(1)13a2b1.
12、又f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.由解得a，b.(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.f(x)0时，x或x1，根据二次函数的性质，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，解得0x1；令f(x)1，f(x)在上单调递增，在(1，e)上单调递减，f(x)在上的最大值为f(1).19(12分)请你设计一个包装盒如图所示，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜
13、边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20，30)时，V0，所以当x20时，V取得极大值，也是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.20(12分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x1，2，不等式f(x)0，得x1；令f(x)0，得x1.所以函数f(x)的递增区间是和
14、(1，)，递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x1，2，由(1)知，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，得c2.21(12分)设函数f(x)2x3ax2bx1的导函数为f(x)，若函数f(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)2x3ax2bx1，所以f(x)6x22axb.所以f(x)6b，即f(x)的图象关于直线x对称，则，即a3.又因为f(1)0，即62ab0，所以b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令
15、f(x)0，解得x2或x1.当x(，2)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，1)时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增所以函数f(x)在x2处取得极大值为f(2)21，在x1处取得极小值为f(1)6.22(12分)(2022年咸阳期末)已知函数f(x)(2x24ax)lnxx2.(1)若函数f(x)在1，)上的最小值为1，求实数a的取值范围；(2)若a，讨论函数f(x)在1，)上的零点个数解：(1)f(x)(4x4a)ln x2x4a2x4(xa)(ln x1)，x1，)，当a1时，f(x)0，f(x)为单调递增函数，f(x)minf(1)1，符合题意；当a1时，
16、在1，a)上，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)minf(a)f(1)1，故f(a)f(1)1，与f(x)的最小值为1矛盾故实数a的取值范围为(，1(2)由(1)可知，当1时，f(x)minf(a)2a2ln aa2，令g(x)2x2ln xx2，x(1，)，则g(x)4xln x2x2x4xln x0，xe时，g(x)0，x(e，)，g(x)0，此时函数f(x)在1，)上的零点个数为0；当ae时，f(x)min0，此时函数f(x)在1，)上的零点个数为1；当a时，f(x)min0，故f(x)在(1，a)存在一个零点f(2a)4a20，故f(x)在(a，2a)存在一个零点，此时函数f(x)在1，)上的零点个数为2.综上，可得a时，函数f(x)在1，)上的零点个数为0；ae时，函数f(x)在1，)上的零点个数为1；a(e，)，函数f(x)在f(x)0上的零点个数为2.
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