1、第五章综合测评一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若f(x)=1x2,则函数f(x)可以是()A.x-1xB.1xC.13x-3D.ln x2.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是()A.2B.1C.0D.由a确定的3.设曲线y=lnxx+1在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,则a=()A.-12B.12C.-2D.24.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间-2,-1上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为()A.-5B.7C.10D.-195.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(
2、x)的图象,给出下列结论:-3是函数y=f(x)的极值点;-1是函数y=f(x)的最小值点;y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确结论的序号是()A.B.C.D.6.已知函数f(x)=x+1ax在(-,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.1,+)B.(-,0)(0,1C.(0,1D.(-,0)1,+)7.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e8.已知函数g(x)的图象关于y轴对称,当x(-,0)时,g(x)0的解集为()A.(3,+)B.(-,1)(1,+)C.(1,+)D.(-,-1)
3、(3,+)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列求导运算错误的是()A.x+3x=1+3x2B.(log2x)=1xln2C.(3x)=3xD.(x2cos x)=-2xsin x10.设点P是曲线y=ex-3x+23上的任意一点,点P处的切线的倾斜角为,则角的取值范围包含区间()A.23,B.2,56C.0,2D.0,256,11.对于函数f(x)=lnxx,下列说法正确的有()A.f(x)在x=e处取得极大值1eB.f(x)有两个不同的零点C.f(2)f()f(3)D.若f(
4、x)112.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论正确的是()x-1045f(x)1221A.函数f(x)的极大值点有2个B.函数f(x)在0,2上单调递减C.若x-1,t,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4D.当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021山东日照期中)已知函数f(x)的导数f(x),且满足f(x)=2f(1)+ln x,则f(e)=.14.若曲线y=x3-x2在点P处的切线l与直线y=-x垂直,则切线l的方程为.15.直线
5、y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则实数a的取值范围是.16.已知函数f(x)=exx-ax,x(0,+),设x1,x2是(0,+)上的任意两个数,当x1x2时,不等式f(x1)x2f(x2)x10).(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1f(x)e2对x1,e恒成立.20.(本小题满分12分)甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=119200v4-1160v3+15v.(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式
6、.(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点,试求实数m的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex+t-x在x=1处的切线是x轴.(1)求f(x)的单调区间;(2)若x1,f(x)-m(ln x-x+1)0恒成立,求实数m的取值范围.参考答案第五章综合测评1.Ax-1x=(x-1)x-(x-1)xx2=1x2,1x=-1x2,13x-3=-x-4,(lnx)=1x.故
7、满足f(x)=1x2的f(x)可以是f(x)=x-1x.故选A.2.Cf(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)20,函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C.3.A由题意得,y=(lnx)(x+1)-lnx(x+1)(x+1)2=1+1x-lnx(x+1)2(x0),曲线在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,2-ln14=-a,解得a=-12,故选A.4.Af(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),函数f(x)在-2,-1上单调递减,最大值为f(-2)=2+a=2,a=0,函数f(x)在区间-2,-1上的最小值为f(-1)=a-5=-5.5.D
8、由导函数y=f(x)的图象可知,当x-3时,f(x)-3时,f(x)0,f(x)单调递增,故x=-3是函数y=f(x)的极小值点,也是最小值点,故正确,错误.故选D.6.D由题意知f(x)=1-1ax2,由于f(x)在(-,-1)上单调递增,则f(x)0在(-,-1)上恒成立,即1ax2在(-,-1)上恒成立.当x1,则有1a1,解得a1或a0.故选D.7.C设切点坐标为(a,lna),y=lnx,y=1x,切线的斜率是1a,切线的方程为y-lna=1a(x-a),将(0,0)代入可得lna=1,a=e,切线的斜率是1a=1e.故选C.8.A因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶
9、函数,则g(-2)=g(2)=0.因为当x(-,0)时,g(x)0,故g(x)单调递增,故当x2时,g(x)0,当-2x2时,g(x)0等价于(x+1)g(x-1)0,所以x+10,x-10,x-12或x+10,-2x-13,所以(x+1)f(x)0的解集为(3,+).故选A.9.ACDx+3x=1-3x2,故A错误;(log2x)=1xln2,故B正确;(3x)=3xln3,故C错误;(x2cosx)=2xcosx+x2(-sinx)=2xcosx-x2sinx,故D错误.故选ACD.10.CDy=ex-3x+23的导数为y=ex-3,由ex0,可得切线的斜率k-3,由tan-3,可得02或
10、230),令f(x)=0得x=e,当0x0,函数单调递增,当xe时,f(x)f()f(4),所以f(2)f()f(3)成立,故C正确;若f(x)lnxx+1x,设h(x)=lnxx+1x(x0),则h(x)=-lnxx2,当0x0,当x1时,h(x)1成立,故D正确.故选ACD.12.AB由f(x)的图象可知,当-1x0或2x0,当0x2或4x5时,f(x)0,即当x=0时,函数f(x)取得极大值,当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A正确;函数f(x)在0,2上单调递减,故B正确;作出f(x)的大致图象如图,若x-1,t,f(x)的最大值是2,则t满足0t5,
11、即t的最大值是5,故C错误;由y=f(x)-a=0得f(x)=a,若f(2)1,当1a2时,f(x)=a有四个根,若1f(2)2,当1a2时,f(x)=a不一定有四个根,故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确,故D错误.故选AB.13.3f(x)=2f(1)+lnx,f(x)=1x,f(1)=1,f(x)=2+lnx,f(e)=3.14.x-y+527=0或x-y-1=0据题意,设P(x0,x03x02),且y=x3-x2在点P处的切线斜率为1,y=3x2-2x,3x02-2x0=1,解得x0=-13或1,P-13,-427或(1,0),切线l的方程为x-y+527=0或x-y-1=0.1
12、5.(-2,2)令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可求得f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,f(x)的大致图象如图所示,当-2a2时,恰有三个不同公共点.16.-,e2由题意知x1f(x1)x2f(x2),即函数g(x)=xf(x)=ex-ax2在(0,+)上单调递增.则g(x)=ex-2ax0恒成立.2aexx.令m(x)=exx,则m(x)=(x-1)exx2,当x(0,1)时m(x)0,m(x)单调递增,2am(x)min=m(1)=e,ae2.实数a的取值范围为-,e2.17.解函数的导数f(x)=-1x2+2,曲线y=1x+2x在x=1处的切线斜率k=f(1
13、)=-1+2=1,f(1)=1+2=3,即切点坐标为(1,3),则对应的切线方程为y-3=x-1,即x-y+2=0.18.解(1)f(x)=3x2-6x=3x(x-2),因为0x2,f(x)0,所以f(x)在0,2上单调递减;所以当x0,2时,f(x)max=f(0)=k=1,所以k=1.(2)函数g(x)=ex满足条件,证明如下:首先函数g(x)=ex满足在定义域R上连续且单调递增,且g(0)=1=k.下面证明:g(x)x+1,令h(x)=g(x)-(x+1)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,由h(x)=0,得x=0,当x(-,0)时,h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递增;所以h(
14、x)h(0)=0,即g(x)-(x+1)0,所以g(x)x+1.19.解(1)f(x)=a2lnx-x2+ax,x0,f(x)=a2x-2x+a=-(x-a)(2x+a)x,x0.由于a0,f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+).(2)由题意得,f(1)=a-1e-1,即ae,结合(1)知f(x)在1,e上单调递增,要使e-1f(x)e2对x1,e恒成立,只要f(1)=a-1e-1,f(e)=a2-e2+aee2,解得a=e.20.解(1)Q=P400v=119200v4-1160v3+15v400v=119200v3-1160v2+15400=v34852v2+6000
15、(0v100).(2)Q=v216-5v,令Q=0,则v=0(舍去)或v=80,当0v80时,Q0,当800,当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Qmin=Q(80)=20003(元).21.解(1)f(x)=ex+xex+2ax+2=ex(x+1)+2ax+2,由f(-1)=0得-2a+2=0,则a=1,f(x)=xex+x2+2x+1,f(x)=ex(x+1)+2x+2=(x+1)(ex+2),由f(x)0,得x-1;由f(x)0,得x0,解得x1,令f(x)0,解得x1,函数f(x)的单调递减区间为(-,1),单调递增区间为(1,+).(2)构造函数h(x)=x-1-lnx(x1),则h(x)=1-1x=x-1x0,函数h(x)在1,+)上单调递增,则h(x)h(1)=0,当x1时,x-1lnx.由f(x)-m(lnx-x+1)0得ex-1-x-mlnx+m(x-1)0,即ex-1+m(x-1)x+mlnx=elnx+mlnx,构造函数g(x)=ex+mx,则g(x-1)g(lnx).x1,x-10,lnx0,函数g(x)=ex+mx在0,+)上单调递增,g(x)=ex+m0在0,+)上恒成立,即m-ex在0,+)上恒成立,m-1,即实数m的取值范围为-1,+).
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