1、培优课构造函数法解决导数问题必备知识基础练1.已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)12,则f(x)x2+12的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1C.x|x1D.x|x12.设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)3.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)为f(x)的导函数,且f(x)+(x-1)f(x)0,则下列式子正确的是()A.f(1)=0B.f(x)0D.(x-1)f(x)04.已知定
2、义在R上的函数f(x)满足f(x)ef(2 021)B.f(2 020)f(2 021)D.ef(2 020)f(x),则下列不等式一定成立的是()A.3f(4)5f(3)C.3f(3)4f(2)6.已知f(x)是定义在0,2上的函数,其导函数为f(x),f3=23,且当x0,2时,f(x)sin x+f(x)cos x0,则不等式f(x)sin x0,若a=12f3,b=0,c=-32f56,则a,b,c的大小关系是.8.若对任意的xe,+),都有xln xax-a,求实数a的取值范围.9.已知函数f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x.(1)当a=1时,求函数f(x)在1,e上的最
3、小值和最大值.(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.关键能力提升练10.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,且f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当axf(b)g(b)B.f(x)g(b)f(b)g(x)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(a)11.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f(x),且3f(x)-f(x)0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是()A.f(1)e3f(0)B.f(1)e3f(0)D.f(1)e
4、2f(0)12.设函数f(x)的定义域为R,f(x)是其导函数,若3f(x)+f(x)0,f(0)=1,则不等式f(x)e-3x的解集是()A.(0,+)B.(1,+)C.(-,0)D.(0,1)13.定义域为-2,2的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,其导函数为f(x),当0x2时,有f(x)cos x+f(x)sin x0成立,则关于x的不等式f(x)0时,有xf(x)-f(x)x20,则不等式x2f(x)0的解集是.15.已知函数f(x)=ax-ln x(aR).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若x1,x2是方程f(x)=2的两个不同实根,证明:x1+x22e3.学科素养创新练
5、16.设函数f(x)=aex,xR.(1)当a=1时,过原点作y=f(x)的切线,求切线方程;(2)若不等式xf(x)-x+2ln x对于x(0,+)恒成立,求a的取值范围;(3)在(1)的条件下,证明:x-x2-x2ln x1+e2e3f(x).参考答案培优课构造函数法解决导数问题1.D构造函数h(x)=f(x)-x212,所以h(x)=f(x)-120,故h(x)在R上是减函数,且h(1)=f(1)-1212=0,故h(x)1.2.A构造函数h(x)=f(x)x,因为f(x)为奇函数,所以h(x)为偶函数,又因为h(x)=xf(x)-f(x)x2,且当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x
6、的取值范围是(-,-1)(0,1).3.C令g(x)=(x-1)f(x),则g(x)=f(x)+(x-1)f(x)0,所以g(x)在R上是增函数,又因为g(1)=0,所以当x1时,g(x)=(x-1)f(x)0;当x1时,g(x)=(x-1)f(x)0.又f(1)+(1-1)f(1)=f(1)0,所以ABD错误,C正确.4.A依题意得f(x)+f(x)0,令g(x)=exf(x),则g(x)=exf(x)+f(x)g(2021),即e2020f(2020)e2021f(2021)f(2020)ef(2021).5.BD由(x+1)f(x)f(x),得(x+1)f(x)-f(x)0,令g(x)=
7、f(x)x+1,则g(x)=(x+1)f(x)-f(x)(x+1)20,g(x)在(0,+)上是增函数,g(2)g(3)g(4),则f(2)3f(3)4f(4)5,即4f(2)3f(3),5f(3)4f(4),故选BD.6.x0x0,所以f(x)sinx0,x0,2,令g(x)=f(x)sinx,则当x0,2时,g(x)0,g(x)在0,2上是增函数,因为f3=23,所以g3=f3sin3=3,不等式f(x)sinx3,即g(x)g3.因为g(x)在0,2上是增函数,所以原不等式的解集为x0x3.7.ab0,所以g(x)0,所以g(x)在(0,)上是增函数,a=12f3=f3cos3=g3,b
8、=0=f2cos2=g2,c=-32f56=f56cos56=g56,所以ab0,即m(x)在e,+)上是增函数,故m(x)m(e)=e-20,所以h(x)0,所以h(x)=xlnxx-1在e,+)上是增函数,h(x)min=h(e)=ee-1,所以aee-1,即实数a的取值范围是-,ee-1.9.解(1)当a=1时,f(x)=12x2-2lnx-x.则f(x)=x-2x-1=x2-x-2x=(x+1)(x-2)x,x1,e.当x1,2)时,f(x)0.f(x)在1,2)上是减函数,在(2,e上是增函数.当x=2时,f(x)取得最小值,其最小值为f(2)=-2ln2.又f(1)=-12,f(e
9、)=e22-e-2,f(e)-f(1)=e22-e-2+12=e2-2e-320,f(e)a恒成立,不妨设0x1a,f(x2)-ax2f(x1)-ax1.令g(x)=f(x)-ax,则由此可知g(x)在(0,+)上是增函数,又g(x)=12x2-2alnx+(a-2)x-ax=12x2-2alnx-2x,则g(x)=x-2ax-2=x2-2x-2ax,由此可得g(x)0在(0,+)上恒成立,只需-1-2a0,解得a-12,即a的取值范围是-,-12.10.B设F(x)=f(x)g(x),则F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g2(x),由f(x)g(x)-f(x)g(x)0,得F(x)
10、0,所以F(x)在R上是减函数,因为axb,所以f(b)g(b)f(x)g(x)f(b)g(x).11.A令g(x)=f(x)e3x,则g(x)=f(x)e3x-3f(x)e3x(e3x)2=f(x)-3f(x)e3x,因为3f(x)-f(x)0在R上恒成立,所以g(x)0在R上恒成立,故g(x)在R上是减函数,所以g(1)g(0),即f(1)e3f(0)e0,即f(1)0,所以3e3xf(x)+e3xf(x)0,所以g(x)0,所以函数g(x)=e3xf(x)在R上是增函数,又f(x)e-3x可化为e3xf(x)1,且g(0)=e30f(0)=1,所以g(x)g(0),解得x0,所以不等式f
11、(x)e-3x的解集是(0,+).13.Bf(x)+f(-x)=0且x-2,2,f(x)是奇函数.设g(x)=f(x)cosx,则当0x2时,g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x0,g(x)在0,2上是减函数.又f(x)是奇函数,g(x)=f(x)cosx也是奇函数,g(x)在-2,0上是减函数,从而g(x)在-2,2上是减函数.不等式f(x)2f4cosx,f(x)cosxf(4)cos4,即g(x)g4,4x0时,xf(x)-f(x)x20,即g(x)0,g(x)在(0,+)上是增函数.又f(1)=0,g(1)=f(1)=0,在(0,+)上,g(x)0的解集为(1,+),
12、g(x)0的解集为(-,-1),g(x)0,得f(x)0(x0).又f(x)0的解集为(-1,0)(1,+),不等式x2f(x)0的解集为(-1,0)(1,+).15.(1)解因为f(x)=ax-lnx,所以f(x)=-ax21x=-a+xx2.当a0时,f(x)0在(0,+)上恒成立,故f(x)在(0,+)上是减函数.当a0,得0x-a;由f(x)-a.即f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,+)上是减函数.综上,当a0时,f(x)在(0,+)上是减函数;当a0时,f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,+)上是减函数.(2)证明因为f(x1)=f(x2)=2,所以ax1-lnx1
13、-2=0,ax2-lnx2-2=0,即x1lnx1+2x1-a=0,x2lnx2+2x2-a=0.设g(x)=xlnx+2x-a,则g(x)=lnx+3,故g(x)在0,1e3上是减函数,在1e3,+上是增函数.由题意,设0x11e32e3,只需证x22e3-x1,又x21e3,+,2e3-x11e3,+,g(x)在1e3,+上是增函数,故只需证g(x2)g2e3-x1.因为g(x1)=g(x2),所以只需证g(x1)g2e3-x1对任意的x10,1e3恒成立即可,即x1lnx1+2x1-a2e3-x1ln2e3-x1+22e3-x1-a,整理得x1lnx1+2x12e3-x1ln2e3-x1
14、+4e3-2x1,即x1lnx1-2e3-x1ln2e3-x1+4x1-4e30.设h(x)=xlnx-2e3-xln2e3-x+4x-4e3,x0,1e3,则h(x)=lnx+ln2e3-x+6=ln2xe3-x2+6.因为0x1e3,所以02xe3-x21e6,所以h(x)=ln2xe3-x2+6h1e3=0.所以x1+x22e3成立.16.(1)解当a=1时,f(x)=ex,则f(x)=ex,设切点坐标为(x0,y0),则切线斜率为ex0,切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),将(0,0)代入切线方程,解得x0=1,所以切线方程为y=ex.(2)解不等式xf(x)-x+2lnx对于x
15、(0,+)恒成立,则alnx+x-2xex,x(0,+)恒成立.令g(x)=lnx+x-2xex,则g(x)=(x+1)(3-lnx-x)x2ex,令m(x)=3-lnx-x,则m(x)=-1x-10,m(3)1e3,所以a的取值范围为1e3,+.(3)证明要证x-x2-x2lnx1+e2e3f(x),即证1-x-xlnx1+1e2ex-1x.令F(x)=1-x-xlnx,则F(x)=-2-lnx,所以F(x)在(0,e-2)上单调递增,在(e-2,+)上单调递减,所以F(x)max=F(e-2)=1+1e2.令G(x)=1+1e2ex-1x,则G(x)=1+1e2ex-1(x-1)x2,所以G(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以G(x)min=G(1)=1+1e2.因为F(x)max=F(e-2)=G(x)min=G(1),1e-2,所以1-x-xlnx1+1e2ex-1x,原不等式得证.
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