1、上海市宝山区行知中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）若=，设=，则的值为2（4分）已知an是等比数列，则方程组的解的个数是3（4分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（3，），则行列式的值为4（4分）等边ABC边长为1，则=5（4分）向量经矩阵变换后得到矩阵，则xy=6（4分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是7（4分）如果=，那么a的取值范围是8（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+m）=2n13（2n1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为9（4分）已知等差
2、数列an的前n项和为Sn，若=a3+a2012，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S2014=10（4分）已知与均为非零向量，给出下列命题：（）2=（）2（）2； |=（）2； 若=，则； （）=（），上述命题中，真命题的个数是11（4分）在等差数列an中，a1=13，前n项和为Sn，且S3=S11，则使得Sn最大的正整数n为12（4分）已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则的最小值是13（4分）记为数列an的调和平均值，Sn为自然数列n的前n项和，若Hn为数列Sn的调和平均值，则=14（4分）给出30行3
3、0列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34，1074按顺序构成数列bn，存在正整数s、t（1st）使b1，bs，bt成等差数列，试写出一组（s，t）的值二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）如果（12x）n存在，那么x的取值范围是（）A0x1B0x1C0x1D0x116（5分）已知、是夹角为60的两个单位向量，则=2+和b=3+2的夹角是（）A30B60C120D15017（5分）过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，xy0，则的值为（）A4B3C2D118（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式
4、如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A4B5C6D7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分19（12分）已知数列an满足a1=1，且三阶行列式+2n，其中nN*，（1）求证：数列为等差数列； （2）求数列an的通项20（14分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺
5、第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%；设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少；（2）该人分别在A或B公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21（14分）已知向量，向量与向量的夹角为，且（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围22（16分）已知非零向量列满足：=（x1，y1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn+1+yn+1）（n2，nN*），（1）证
6、明：数列|是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设=（1，2），将，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，令=+，O为坐标原点，求点Bn的坐标23（18分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（a3），设，nN*（1）求证：数列bn是等比数列；（2）若an+1an，nN*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列en，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，pN*且t1，p1）的形式，则称Cn为“指数型和”问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由上海市宝山区行知中学2014-2015学年高二上学期期中数学
7、试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）若=，设=，则的值为考点：平行向量与共线向量；平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：利用向量的三角形法则与向量相等即可得出解答：解：=，化为，而=，故答案为：点评：本题考查了向量的三角形法则与向量相等，属于基础题2（4分）已知an是等比数列，则方程组的解的个数是无数个考点：等比数列的通项公式；函数的零点 专题：直线与圆分析：由已知得直线a1x+a2y=a4与a5x+a6y=a8重合，从而方程组的解的个数是无数个解答：解：an是等比数列，直线a1x+a2y=a4与a5x+a6y=a8重合，方程组
8、的解的个数是无数个故答案为：无数个点评：本题考查方程组的解的个数的判断，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用3（4分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（3，），则行列式的值为考点：任意角的三角函数的定义；二阶行列式的定义 专题：三角函数的求值分析：利用任意角的三角函数的定义，求出sin，cos，tan的值，然后化简行列式求解即可解答：解：角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（3，），OP=2sin=，cos=，tan=sincostan=故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，行列式的定义的应用，基本知识的考查4（4分）等边ABC边长为
9、1，则=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据数量积的计算公式进行计算即可解答：解：如图，=cos120+cos120+cos120=故答案为：点评：考查向量数量积的计算公式，要注意向量的夹角不要弄错5（4分）向量经矩阵变换后得到矩阵，则xy=1考点：几种特殊的矩阵变换 专题：矩阵和变换分析：由已知得=，由此能求出xy=1解答：解：向量经矩阵变换后得到矩阵，=，x=3，y=2，xy=1故答案为：1点评：本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几种特殊变换的合理运用6（4分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是考点：循环结构 专题：图表型分析
10、：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出S=21+22+26的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出S=21+22+26的值而S=21+22+26=最后输出的值为故答案为：点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7（4分）如果=，那么a的取值范
11、围是（4，2）考点：数列的极限 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：直接利用数列的极限的运算法则，化简已知条件即可推出a的范围解答：解：=，可得=，可得，解得a（4，2）故答案为：（4，2）点评：本题考查数列的极限的应用，基本知识的考查8（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+m）=2n13（2n1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为2（2k+1）考点：数学归纳法 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求解答：解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）（k+k
12、）=（k+1）（k+2）（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为 2（2k+1）点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时的左边的式子除以n=k时的左边的式子，属于基础题9（4分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若=a3+a2012，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S2014=1007考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由于A，B，C三点共线（该直线不过点O），=a3+a2012，利用向量共线定理可得：a3+a2012=1，再利用等差数
13、列的前n项和公式即可得出解答：解：A，B，C三点共线（该直线不过点O），=a3+a2012，a3+a2012=1，S2014=1007故答案为：1007点评：本题考查了向量共线定理、差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（4分）已知与均为非零向量，给出下列命题：（）2=（）2（）2； |=（）2； 若=，则； （）=（），上述命题中，真命题的个数是0个考点：命题的真假判断与应用 专题：平面向量及应用分析：根据向量数量积的定义和运算法则，逐一分析四个结论的正误，综合讨论结果，可得答案解答：解：（）2=（|cos）2=|2|2cos2=（）2（）2cos2，故错误； |是一
14、个向量，（）2是一个数量，故不可能相等，故错误；若=，则，在上的投影相同，但不一定有，故错误； （）表示一个与共线的向量，而（）表示一个与共线的向量，故错误，故上述命题中，真命题的个数是0个，故答案为：0个点评：本题以命题的真假为载体考查了向量数量积的定义和运算法则，难度不大，属于基础题11（4分）在等差数列an中，a1=13，前n项和为Sn，且S3=S11，则使得Sn最大的正整数n为7考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的求和公式可得公差d，进而可得通项公式，可得数列an的前7项均为正数，从第8项开始为负值，可得答案解答：解：设等差数列an的公差为d，a1=13，且
15、S3=S11，313+d=1113+d，解得d=2，an=132（n1）=152n，令152n0可解得n，等差数列an的前7项均为正数，从第8项开始为负值，使得Sn最大的正整数n为7，故答案为：7点评：本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式和求和公式，属基础题12（4分）已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则的最小值是考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：由题意可得：线段CD的方程为：x+2y2=0，设点p（a，b），则b=1a，并且a0，2，结合题意可得：=（a+1，b），=（a1，b），所以=，
16、a0，2，再由二次函数的性质可得答案解答：解：因为C（0，1），D（2，0），所以线段CD的方程为：x+2y2=0，设点p（a，b），则b=1a，并且a0，2，因为A（1，0），B（1，0），所以=（a+1，b），=（a1，b），所以=a21+b2=，a0，2所以由二次函数的性质可得：当a=时由最小值故答案为：点评：本题主要考查向量的数量积运算，以及二次函数定区间上求最值问题，此题属于中档题13（4分）记为数列an的调和平均值，Sn为自然数列n的前n项和，若Hn为数列Sn的调和平均值，则=考点：数列的极限；数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：求出Sn为自然数列n的前n项和，利用已
17、知条件求出Hn的表达式，然后求解极限即可解答：解：Sn为自然数列n的前n项和，所以Sn=，为数列an的调和平均值，Hn为数列Sn的调和平均值，Hn=，=故答案为：点评：本题考查数列的求和，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力以及转化思想的应用14（4分）给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34，1074按顺序构成数列bn，存在正整数s、t（1st）使b1，bs，bt成等差数列，试写出一组（s，t）的值（17，25）考点：等差数列的通项公式；数列与函数的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得，b2b1=9b3b2=1
18、1bnbn1=2n+5，利用叠加可求bn，然后由b1，bs，bt成等差数列可得2bs=b1+bt，代入通项后即可求解满足题意的t，s解答：解：由题意可得，b2b1=9b3b2=11bnbn1=2n+5以上n1个式子相加可得，bnb1=9+11+2n+5=n2+6n7bn=n2+6n6b1，bs，bt成等差数列2bs=b1+bt2（s2+6s6）=1+t2+6t6整理可得，2（s+3）2=（t+3）2+161st30且s，tN*经检验当s=17，t=25时符合题意故答案为：（17，25）点评：本题主要考查了数列的通项公式的求解，要注意叠加法的应用，属于公式的灵活应用二、选择题：（本题共4小题，每
19、小题5分，满分20分）15（5分）如果（12x）n存在，那么x的取值范围是（）A0x1B0x1C0x1D0x1考点：数列的极限 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据极限的概念，及指数函数图象特点，很容易知道应该这样对x限制：12x+11，解出即可解答：解：（1）若012x1，即0x时，根据对数函数y=ax，在0a1时，随着x的增大，函数图象无限接近0，所以对于（12x）n=0；（2）若12x=1，即x=0时，则（12x）n=1；（3）若12x=0，即x=时，则（12x）n=0；（4）若12x1，则根据对数函数y=ax，在a1时，随x的增大，函数图象向上无限延伸，函数值无限增大，所以，此时
20、不存在极限；（5）若112x0，即x1时，若n无限增大趋向一个偶数，则（12x）n=0，n无限增大趋向一个奇数时，（12x）n=0；（6）若2x+1=1，（2x+1）n是1和1间隔出现的，所以不存在（7）若2x+11，n趋于无穷大的偶数时，（2x+1）n趋于正无穷大，n趋于无穷大的奇数时，（2x+1）n趋于负无穷大，所以不存在极限综上可得，x的取值范围是0x1故选：A点评：本题极限的概念，和指数函数图象特点考查分类讨论思想的应用16（5分）已知、是夹角为60的两个单位向量，则=2+和b=3+2的夹角是（）A30B60C120D150考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题
21、意可得|=|=1，=设=2+和b=3+2的夹角为，0180，可得 =再求得|和|，根据 =，可得 的值解答：解：由题意可得|=|=1，=11cos60=设=2+和b=3+2的夹角为，0180，可得 =（2+）（3+2）=6+2+=再由|=，|=，=，=120，故选C点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的定义，属于中档题17（5分）过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，xy0，则的值为（）A4B3C2D1考点：相等向量与相反向量 专题：计算题分析：三角形的重心分中线的比为 ，取特殊位置的直线即可求得解答：解：G是ABC的重心取过G平行BC的直线D
22、E，x=，y=则 的值为=3故选B点评：本题主要考查了三角形的重心分中线的比值及特殊法解选择题，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力18（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A4B5C6D7考点：组合几何体的面积、体积问题；等比数列的前n项和 专题：计算题；压轴题分析：求出各个层的正方体的表面积，求出它们的和，该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过
23、39，求出正方体的个数至少个数解答：解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长，每个面的面积为；第3层正方体的棱长为，每个面的面积为；，第n层正方体的棱长为，每个面的面积为；若该塔形为n层，则它的表面积为24+4+=40因为该塔形的表面积超过39，所以该塔形中正方体的个数至少是6故选C点评：本题是中档题，考查计算能力，数列求和的知识，正确就是解好数学问题的关键，常考题型三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分19（12分）已知数列an满足a1=1，且三阶行列式+2n，其中nN*，（1）求证：数列为等差数列；
24、（2）求数列an的通项考点：数列递推式；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据行列式的定义进行化简，结合等差数列的定义即可证明数列为等差数列； （2）求根据数列为等差数列即可数列an的通项解答：解：（1）由行列式的定义可知nan+1（n+1）an=2n（n+1），则=2，即是以1为首项，2为公差的等差数列（2）由（1）得=1+2（n1）=2n1，点评：本题主要考查考查行列式的计算依据等差数列的应用，难度不大20（14分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工
25、资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%；设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少；（2）该人分别在A或B公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？考点：数列的应用 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设该人在A或B公司连续工作n年，第n年的月收入分别为an，bn，由已知条件能求出an=230n+1270，bn=20001.05n1（2）设该人在A或B公司连续工作10年，工资总收入S，T，分别求出S，T，由此推导出选择A公司解答：解：（1
26、）设该人在A或B公司连续工作n年，第n年的月收入分别为an，bn，A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，an=230n+1270，bn=20001.05n1（2）设该人在A或B公司连续工作10年，工资总收入S，T，则S=（150010+）12=304200，T=301869ST，选择A公司点评：本题考查数列在生产、生活中的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用21（14分）已知向量，向量与向量的夹角为，且（1）求向量；（2）若向量与共线，向
27、量，其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦函数的定义域和值域 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）设设，由题意可建立关于xy的方程组，解之即可；（2）结合题意易得，进而可得的坐标，可表示，结合三角函数的知识由A的范围逐步可得所求范围解答：解：（1）设由，得x+y=1又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1由、解得或，或（5分）（2）结合（1）由向量与共线知；由A、B、C依次成等差数列知（7分），=（10分），（12分）点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及正余弦函数的定义域和值域，属中档题
28、22（16分）已知非零向量列满足：=（x1，y1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn+1+yn+1）（n2，nN*），（1）证明：数列|是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设=（1，2），将，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，令=+，O为坐标原点，求点Bn的坐标考点：数列与向量的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得|=，|=|，从而=，由此能证明|是以|为首项，为公比的等比数列（2）设与的夹角为，=xnxn1+ynyn1=，从而cos=，由此能求出向量与的夹角为（3）由（2）知相邻两向量夹角为，每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即，设，由（1）知=（）4
29、=由此能求出解答：（1）证明：，|=，|=|，=，|是以|为首项，为公比的等比数列（2）解：设与的夹角为，=xnxn1+ynyn1=+=，cos=，=，即向量与的夹角为（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为，每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即，设，由（1）知=（）4=（）n1=（）n1（1，2），=+=点评：本题考查数列|是等比数列的证明，考查向量与的夹角的求示，考查点Bn的坐标的求法，解题时要认真审题，注意向量和数列知识的综合运用23（18分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（a3），设，nN*（1）求证：数列bn是等比数列；（2）若an+1an，nN*，求实数a的最小值；
30、（3）当a=4时，给出一个新数列en，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，pN*且t1，p1）的形式，则称Cn为“指数型和”问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和 专题：综合题；新定义分析：（1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列bn是等比数列；（2）由（1）可得Sn3n=（a3）2n1，an=SnSn1，n2，nN*，从而可求得an=，由an+1an，可求得a9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，bn=2n1，当n
31、2时，Cn=3+2+4+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp1=2n，（t，pN*且t1，p1），t只能是不小于3的奇数分当p为偶数时与当p为奇数讨论即可得到答案解答：解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn3n，nN*，当a3时，=2，所以bn为等比数列b1=S13=a3，bn=（a3）2n1（2）由（1）可得Sn3n=（a3）2n1，an=SnSn1，n2，nN*，an=，an+1an，a9，又a3，所以a的最小值为9；（3）由（1）当a=4时，bn=2n1，当n2时，Cn=3+2+4+2n=2n+1+1，C
32、1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1由tp=2n+1，tp1=2n，（t，pN*且t1，p1），t只能是不小于3的奇数当p为偶数时，tp1=（+1）（1）=2n，因为tp+1和tp1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，1=2h，2g2h=2，2h（2gh1）=2，所以2h=2且2gh1=1h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；当p为奇数时，tp1=（t1）（1+t+t2+tp1），由于1+t+t2+tp1是p个奇数之和，仍为奇数，又t1为正偶数，所以（t1）（1+t+t2+tp1）=2n不成立，此时没有“指数型和”点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题