1、模块综合训练一、单项选择题1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如图,四面体SABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则SE=()A.13SA+12SB+13SCB.23SA+16SB+16SCC.12SA+14SB+14SCD.12SA+13SB+16SC3.圆P:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q的标准方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y-5)2=1C.(x-2)2+(y+5)2=1D.(x-4)2+(y+
2、3)2=14.已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.65.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.2,32B.2,22C.22,32D.1,326.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cm7.如图,四棱锥S-ABCD中,底面
3、是正方形,各棱长都相等,记直线SA与直线AD所成角为,直线SA与平面ABCD所成角为,二面角S-AB-C的平面角为,则()A.B.C.D.8.设F1,F2是双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则双曲线C的离心率为()A.5B.3C.2D.2二、多项选择题9.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时,|PB|=32D.当PBA最大时,|PB|=3210.若a=(-1,-2)
4、,b=(2,-1,1),a与b的夹角为120,则的值为()A.17B.-17C.-1D.111.已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为5B.C的离心率为306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为25512.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面过直线l与点M(1,2,3),则平面的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.14,-1,12C.-14,1,-12D.(0,-1,1)三、填空题13.过点(1,2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.1
5、4.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.16.已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=8,则p=,M为抛物线弧AOB上的动点,AMB面积的最大值是.四、解答题17.求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)
6、l过点P(2,1)且在x轴,y轴上的截距的绝对值相等.18.在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|TB|=|TP|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(-2,0),点B为其上顶点,且直线AB的斜率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为第四象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积是定
7、值.20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,ABC=120,PA=PC,PB=PD,ACBD=O.(1)证明:PO平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30,求二面角B-PC-D的余弦值.21.(2021宁夏银川期中)如图,把半椭圆:1:x2a2+y2b2=1(x0)与圆弧2:(x-1)2+y2=a2(x0)合成的曲线称作“曲圆”,其中F(1,0)为1的右焦点,如图所示,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知B1FB2=23,过点F且倾斜角为的直线交“曲圆”于P,Q两点(P在x轴上方).(1)求椭圆1和圆弧2的方程;(2)当点P,Q分别在第一、
8、第三象限时,求A1PQ的周长的取值范围.22.某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数)参考数据:113.3,椭圆的面积公式为S=ab,其中a,b分别为椭圆的半长轴长和半短轴长.模块综合训练1.B两直线平行,斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+
9、2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.BSE=SA+13AD=SA+1312(AC+AB)=SA+16AC+16AB=SA+16(SCSA)+16(SBSA)=23SA+16SB+16SC.3.B圆P:(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a,b),则a-32+b+42-2=0,b-4a+3=1,解得a=-2,b=5,所求圆Q的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.C由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|MF1|MF2|MF1|+|MF2|2=3,则|MF1|MF2|9,当且仅当|MF1|=|MF2
10、|=3时,等号成立.故|MF1|MF2|的最大值为9.故选C.5.A直线mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故OPM=90,所以P在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为2,|NQ|=(1+1)2+(1+1)2=22,故2=222|PQ|2+22=32.6.A建立直角坐标系xOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p10,得p=5,则p2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则光源到反光镜顶点的距离
11、是2.5cm.7.C由题可知,0,2.连接AC,BD,交于点O,连接OS,则OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S(0,0,2),A(2,0,0),D(0,-2,0),B(0,2,0),SA=(2,0,-2),AD=(-2,-2,0),SB=(0,2,-2),cos=|SAAD|SA|AD|=244=12,平面ABCD的法向量n=(0,0,1),cos=|nSA|n|SA|=24=22,设平面SAB的法向量m=(x,y,z),则mSA=2x-2z=0,mSB=2y-2z=0,取x=1,得m=(1,1,1),cos=|m
12、n|m|n|=13=33,coscos.8.B由题可知|PF2|=b,|OF2|=c,|PO|=a.在RtPOF2中,cosPF2O=|PF2|OF2|=bc,在PF1F2中,cosPF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=bc,即b2+4c2-(6a)22b2c=bc,c2=3a2,e=3.9.ACD如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.由条件得,直线AB的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=|5+25-4|12+22
13、=1155,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=1155-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=1155+4.又1155-42,1155+415(点D为圆D的圆心),所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为4515=55.12.ABC由题意可知,所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM,而PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),对于A,(2,1,1)(1,-4,2)=0,(0,2,4)(1,-4,2)=0满足垂直,故A正确;对于B,(2,1,1)14,-1,12=0,(0,2,4)14,-1,12=0满足垂直,故B正确;对于C,(2,1,1
14、)-14,1,-12=0,(0,2,4)-14,1,-12=0满足垂直,故C正确;对于D,(2,1,1)(0,-1,1)=0,但(0,2,4)(0,-1,1)0,故D错误.13.22过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,此时直线l与圆心(2,0)和点(1,2)的连线垂直,连线的斜率是2-01-2=-2,直线l的斜率k=22.14.x=-32PFx轴,xP=xF=p2,将xP=p2代入y2=2px,得y=p.不妨设点P在x轴的上方,则Pp2,p,即|PF|=p.如图,由条件得,PFOQFP,|OF|PF|=|PF|QF|,即p2p=p
15、6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.333以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,0,1),BC1=(-1,0,1),A1B1=(1,-1,0),AB=(1,-1,0).由cos=|-1|2|2|=12,故异面直线BC1与A1B1所成角为3,设平面ABC1的一个法向量为m=(a,b,c),由mBC1=-a+c=0,mAB=a-b=0,设a=1,得m=(1,1,1),平面BC1C的一个法向量n=(0,1,0),cos=13=33.16.242抛物线的方程为x
16、2=2py(p0),过抛物线的焦点F,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,故直线AB的方程为y-p2=x-0,即y=x+p2,且直线AB的倾斜角为45.代入抛物线的方程x2=2py,可得x2-2px-p2=0.设A,B两点的横坐标分别为m,n,mn,由根与系数的关系可得m+n=2p,mn=-p2.|AB|=|AF|+|BF|=yA+p2+yB+p2=m+p2+p2+n+p2+p2=8=m+n+2p=4p=8,p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由=42+16m=0,得m=-1
17、.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=|1+1|2=2,AMB面积的最大值为12|AB|d=1282=42.17.解(1)当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=|2k-1+3-k|k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设直线方程为xa+ya=1,代入(2,1),得a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设直
18、线方程为xa+y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0.18.解(1)|MF1|-|MF2|=2,且F1(-17,0),F2(17,0),点M的轨迹为双曲线的右支,且满足2a=2,c=17,c2=a2+b2,a2=1,b2=16,c2=17.C的方程为x2-y216=1(x1).(2)设T12,m,显然直线AB的斜率与直线PQ的斜率都存在.设直线AB的方程为y=k1x-12+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k1x-12+m,16x2-y2=16,得16x2-k12x2-x+14+2k1mx-12+m2=
19、16,即(16-k12)x2+(k12-2k1m)x-14k12+k1m-m2-16=0.|TA|TB|=(1+k12)x1-12x2-12=(1+k12)x1x2-12(x1+x2)+14=(1+k12)k1m-14k12-m2-1616-k12122k1m-k1216-k12+14=(1+k12)-m2-1216-k12=(1+k12)m2+12k12-16.设kPQ=k2,同理可得|TP|TQ|=(1+k22)m2+12k22-16.|TA|TB|=|TP|TQ|,(1+k12)m2+12k12-16=(1+k22)m2+12k22-16.k22-16k12=k12-16k22,k12=
20、k22.k1k2,k1=-k2,k1+k2=0.19.(1)解由题意,设直线AB:y-0=32(x+2),令x=0,则y=3,于是B(0,3),所以a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明设P(x0,y0)(0x02,-3y00).ABC=120,BAD=60,OA=3t.由(1)知PO平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为PAO=30,得到PO=t,以O为原点,分别以OA,OB,OP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,t,0),C(-3t,0,0),P(0,0,t),D(0,-t,0),得到BP=(0,-t,t),CP=(3t,0,t).设平面PBC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面PCD的法向量n2=(x2,y2,z2).则n1BP=0,n1CP=0,即-ty1+tz1=0,3tx1+tz1=0.令x=1,则y=z=-3,得到n1=(1,-3,-3).同理可得n2=(1,3,-3),所以|cos|=|n1n2|n1|n2|=17,所以二面角B-PC-D的余弦值为-17.21.解(1)由题意可得c=1,OFB2=3,则b=3,a2=b2+c2=4,则椭圆1:x24+y23=1(x0),圆弧2的方程为2:(x-1)2+y2=4(xV2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,隧道的土方工程量最小.
