2022秋高中数学 第二章 平面解析几何 2.docx

1、2.3.2圆的一般方程A级必备知识基础练1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-,0)(0,+)C.(0,+)D.(1,+)2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.23.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)4.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r0)的圆,则该圆的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(多选题)圆x2+y

2、2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称6.已知圆C过点(4,2),(1,3)和(5,1),则圆C与两坐标轴的四个截距之和为.7.已知直线与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a0,圆M为ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中mR.(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值.C级学科素养创新

3、练19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分不必要条件;若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2-2,1),则0F1;若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2-2,1),O为坐标原点,则|OAOB|的最大值为2;若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为32.其中所有真命题的序号是.20.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;锐角ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已

4、知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.(1)求实数t的值及ABC的最小覆盖圆的方程;(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.2.3.2圆的一般方程1.B当a0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+10恒成立,当a0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-,0)(0,+).2.D因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.3.D原方程可化为

5、(x+a)2+(y+b)2=0,x+a=0,y+b=0,即x=-a,y=-b.方程表示点(-a,-b).4.D因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,故圆心坐标为-a2,a,r2=-34a2-3a.又r20,即-34a2-3a0,解得-4a0),则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,由可得a=2,r2=10.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y

6、2-4x-2y=5.10.解圆心C的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2E2-1=0,即D+E=-2.又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.由可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D20,即D0,E0,解得-2a0,解得a1.又a-2,0,1,23,所以a的值可以为-2,0,23.14.C由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P(7,-3),连接MP,交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小且(|SP|+|SQ|)m

7、in=|PM|-1=(1-7)2+(5+3)2-1=9.15.(-,8)由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a13,由此得a-b0.19.圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故正确;若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,所以=4-4F0,4-4+F0,1+2+F0

8、,解得0F1,故不正确;由知,|OAOB|=|BA|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-4F,故当F=0,即x1=2,x2=0,或x1=0,x2=2时,|OAOB|取最大值2,故正确;由于E=2F,则圆的半径的平方为14(4+E2-4F)=14(4+4F2-4F)=F-122+34,则圆面积有最小值,无最大值,故不对.20.解(1)由题意,t=-2.由于ABC为锐角三角形,外接圆就是ABC的最小覆盖圆.设ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则4-2E+F=0,16+4D+F=0,4+2E+F=0,解得D=-3,E=0,F=-4,ABC的最小覆盖圆的方程为x2+y2-3x-4=0.(2)DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.又|OA|=|OC|=24,点A,C都在圆内.四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.(3)由题意,曲线W为中心对称图形.设曲线W上一点P的坐标为(x0,y0),则x02+y04=16.|OP|2=x02+y02,且-2y02.故|OP|2=x02+y02=16-y04+y02=-y02-122+654,当y02=12时,|OP|max=652,曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=654.