1、第三章测评(二)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若An3=12Cnn-2,则n=()A.4B.6C.7D.82.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种3.(2021江苏南京鼓楼校级期中)若C28x=C282x+1,则x的值为()A.1B.3C.6D.94.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为()A.140B.240C.360D.8005.(2021全国乙)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培
2、训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.240种D.480种6.(2021山东烟台一模)(1-x2)(x-2)6的展开式中x2的系数为()A.240B.-240C.176D.-1767.(2021山东济南模拟)已知(1+|a|x+|b|y)n展开式中不含x的项的系数和为256,不含y的项的系数和为81,则a,b,n的值可能为()A.a=3,b=2,n=3B.a=2,b=3,n=3C.a=-2,b=-3,n=4D.a=-3,b=-2,n=48.在象棋比赛中,参赛的任意两位选手都比赛一场,其中胜者得2分,负者得0分,平局各得1分
3、.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分、132分、133分、134分,但其中只有一名学生的统计结果是正确的,则参赛选手共有()A.11位B.12位C.13位D.14位二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列各式的运算结果中,等于n!的有()A.Ann-1B.m!AnmC.1n+1An+1n+1D.(n-m)!Cnm10.(2021重庆高二期末)在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则下列说法正确的是()A.恰好取到一件次品有C31C471种不同取法B.至少取到一件次品有
4、C31C471种不同取法C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C31C471A22种不同取法D.把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有C31C471种不同方式11.(2021江苏苏州校级期中)我国古代著名的数学著作中,周髀算经九章算术孙子算经五曹算经夏侯阳算经张丘建算经海岛算经五经算术缀术缉古算经,称为“算经十书”,某老师将其中的周髀算经九章算术孙子算经五经算术缀术缉古算经这6本书分给4名数学爱好者,其中每人至少一本,则不同的分配方法的种数为()A.A64(A42+A41)B.C63A44+C62C42A22A44C.C63A44+C62C42A44D.C63C31C21A
5、33A44+C62C42C21A22A22A4412.(2021湖南模拟)已知ax2+1xn(a0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中x15的系数为45三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若A16m=1615144,则正整数m=.14.(2021江苏苏州期中)某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访,每个村安排男、女干部各1名,剩下1名干部负责统筹协调,则不同的安排方案有种(用具体数字回答).15.(
6、2021河北模拟)二项式3x+2x6的展开式中x2的系数为.(用数字作答)16.(2021重庆万州校级期中)图中共有个矩形.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021湖北武汉青山校级期中)(1)计算C1002+C10097A1013;(2)已知An7-An5An5=89,求n的值.18.(12分)设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+a10;(2)a6.19.(12分)利用二项式定理证明:49n+16n-1(nN+)能被16整除.20.(12分)一个口袋内装有4个不同的红球,
7、6个不同的白球,(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?21.(12分)(2021江苏南京建邺校级期中)已知x2+2xn的展开式的二项式系数之和为128.(1)求展开式中系数最大的项;(2)将展开式中所有项重新排列,求恰有两项有理项相邻的概率.22.(12分)(2021广东广州海珠校级期中)某医院选派医生参加某地医疗支援,该院呼吸内科有3名男医生,2名女医生,其中李亮(男)为科室主任;该院病毒感染科有2名男医生,2名女医生,其中张雅(女)为科室主任,现在院方决定从两科室中共选4人参加医
8、疗支援.(1)若至多有1名主任参加,有多少种选派方法?(2)若呼吸内科至少有2名医生参加,有多少种选派方法?(3)若至少有1名主任参加,且有女医生参加,有多少种选派方法?参考答案第三章测评(二)1.DAn3=12Cnn-2,可得n(n-1)(n-2)=12n(n-1)21,解得n=8.2.D5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种.3.DC28x=C282x+1,可得x+2x+1=28或x=2x+1,解得x=9(负值舍去).4.B由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,知(x+1)5的展开式中x的系数为C54,常数项为1,(x+2
9、)5的展开式中x的系数为C5424,常数项为25.因此原式中x的系数为C5425+C5424=240.5.C先分组有C52=10种方案,再分配有10A44=240(种)方案.6.C(1-x2)(x-2)6展开式中含x2的项由两部分组成,(1-x2)中提供常数1时,(x-2)6提供含x2的项;(1-x2)中提供-x2时,(x-2)6应提供常数项.所以(1-x2)(x-2)6的展开式中x2的系数为1C64(-2)4-C66(-2)6=240-64=176.7.C(1+|a|x+|b|y)n展开式中不含x的项的系数和为256,即(1+|b|)n=256,不含y的项的系数和为81,即(1+|a|)n=
10、81,结合所给的选项,检验可得a=-2,b=-3,n=4.8.B由题意,由于胜者得2分,负者得0分,平局各得1分,所以每场比赛总得分为2分,那么最后总分一定为偶数,所以131和133被排除,剩下132和134,假设有x个参赛选手,那么总共要进行的比赛为Cx2=x(x-1)2,如果132是正确的,那么x(x-1)=132,则此方程的解为x=12,若134是正确的,那么x(x-1)=134,此方程无整数解,所以共有12位参赛选手.9.AC对于A,Ann-1=n(n-1)(n-2)32=n(n-1)(n-2)321=n!,A正确;对于B,m!Anm=m!n!(n-m)!n!,B错误;对于C,1n+1
11、An+1n+1=1n+1(n+1)!=n!,C正确;对于D,(n-m)!Cnm=(n-m)!n!m!(n-m)!=n!m!n!,D错误.故选AC.10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,在含有3件次品的50件产品中,任取2件,恰好取到1件次品有C31C471种不同取法,A正确;对于B,至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品,抽到两件次品,所以至少取到一件次品共有(C31C471+C32C470)种不同取法,B错误;对于C,两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C31C471A22种不同取法,C正确;对于D,有次品即可,所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有(C31C
12、471+C32C470)种不同方式,D错误.故选AC.11.BD6本书分给4名数学爱好者,每人至少一本,有两类分法:1,1,1,3和1,1,2,2,第一类,分两步,先将书分成四组有C63种,然后将四组书分给4个人,有A44种,共有C63A44种;第二类,分两步,将书分成4组有C62C42A22种,第二步,4组书分给4个人,有A44种,则共有C62C42A22A44.所以一共有C63A44+C62C42A22A44种.或者先分组再分配,6本书分为4组,若为1,1,1,3,则有C63C31C21A33种,再分配给4个人有C63C31C21A33A44种,若为1,1,2,2,则有C62C42C21A
13、22A22种,再分配给4个人有C62C42C21A22A22A44种.故选BD.12.BCDax2+1xn(a0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,Cn4=Cn6,解得n=10.展开式的各项系数之和为1024,且a0,(a+1)10=1024,解得a=1.则原二项式为x2+1x10,其展开式的项Tk+1=C10k(x2)10-k1xk=C10kx20-52k.展开式中奇数项的二项式系数和为121024=512,故A错;二项式系数和项的系数一样,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,故B对;令20-52k=0,解得k=8,即展开式中存在常数项,故C对;令20-52k=15,解得k
14、=2,则展开式中x15的系数为C102=45,故D对.13.13若A16m=1615144,右边共有13个相邻正整数相乘,则正整数m=13.14.144根据题意,分两步进行分析:对于4名女干部,从中选出1人,负责统筹协调,剩下3人安排到三个贫困村,有C41A33=24种安排方法;对于3名男干部,将3人全排列,安排到三个贫困村,有A33=6种安排方法.则共有246=144种安排方法.15.4 860二项式3x+2x6的展开式的通项为Tk+1=C6k(3x)6-k2xk=C6k36-k2kx6-2k,k=0,1,6,令6-2k=2,求得k=2,故展开式中x2的系数为C623422=4860.16.
15、45每一个矩形必须要有两条横边两条竖边组成,分两类:没有中间两条横边参加的有C62=15(个);有中间两条横边参加的有C42C42C42C22=66-61=30(个).根据分类加法计数原理可得共有15+30=45(个).17.解(1)原式=C1002+C1003A1013=C1013A1013=16;(2)因为An7-An5An5=89,所以An7An5-1=n!(n-7)!n!(n-5)!-1=(n-5)!(n-7)!-1=(n-5)(n-6)-1=89,则n2-11n-60=0,解得n=-4(舍)或n=15,所以n=15.18.解(1)令x=1,得a0+a1+a2+a10=(2-1)10=
16、1.(2)a6即为含x6项的系数,Tk+1=C10k(2x)10-k(-1)k=C10k(-1)k210-kx10-k,所以当k=4时,T5=C104(-1)426x6=13440x6,即a6=13440.19.证明49n+16n-1=(48+1)n+16n-1=Cn048n+Cn148n-1+Cnn-148+Cnn+16n-1=16(Cn0348n-1+Cn1348n-2+Cnn-13+n).所以49n+16n-1能被16整除.20.解(1)将取出4个球分成三类情况:取4个红球,没有白球,有C44种;取3个红球1个白球,有C43C61种;取2个红球2个白球,有C42C62种,故共有C44+C
17、43C61+C42C62=115(种)取法.(2)设取x个红球,y个白球,则0x4,0y6,x+y=5,2x+y7,x,yN,故x=2,y=3或x=3,y=2或x=4,y=1.因此,符合题意的取法共有C42C63+C43C62+C44C61=186(种).21.解(1)x2+2xn的展开式的二项式系数之和为2n=128,解得n=7,故x2+2x7的项Tk+1=C7k2kx14-5k2,故第k+1项的系数为C7k2k,要使该项的系数最大,则k4,检验可得,当k=5时,第k+1项的系数最大,故展开式中系数最大的项为T6=C7525x32=672x32.(2)令x的幂指数14-5k2为整数,可得k=
18、0,2,4,6,共4项,故有理项共有4项,而展开式共有8项.要使恰有两项有理项相邻,则先把4个无理项排好,共有A44种方法,4个有理项按照2,1,1分为3组,考虑2个有理项的前后顺序,共有2C42种方法,再在由4个无理项形成的5个空位中选3个空位插入这3组有理项,共有A53种方法,故将展开式中所有项重新排列,恰有两项有理项相邻的概率为A442C42A53A88=37.22.解(1)至多有1名主任参加可以分为两种情况:若无主任参加,有C74=35种选派方法,若只有1名主任参加,有C21C73=70(种)选派方法,故共有35+70=105(种)选派方法.(2)呼吸内科至少2名医生参加,有C52C42+C53C41+C54=105(种)选派方法.(3)张雅既是主任,也是女医生,属于特殊元素,故优先考虑.若有张雅,则有C83=56种选派方法;若无张雅,则李亮必定去,则有C31C42+C32C41+C33=31(种)选派方法.故共有56+31=87(种)选派方法.
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