1、培优课椭圆的综合问题及应用A级必备知识基础练1.已知直线l过点(3,-1),椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.02.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是()A.(-2,2)B.(-,-2)(2,+)C.(-2,2)D.(-1,1)3.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当F1PF2的面积为1时,PF1PF2等于()A.0B.1C.2D.124.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,O为坐标原点,设直线m的斜率为k1,直线OP
2、的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-125.若点O和点F分别为椭圆x29+y28=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OPFP的最小值为()A.214B.6C.8D.126.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,原点O与线段MN的中点P连线的斜率为22,则mn的值是.7.已知斜率为2的直线l被椭圆x23+y22=1截得的弦长为307,则直线l的方程为.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=2x+n交椭圆C于A,B两
3、点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值.B级关键能力提升练9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1AB的面积为2-32,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为()A.1,2B.2,3C.2,4D.1,410.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M1,12,则椭圆的离心率为()A.22B.12C.14D.3211.点A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点,点P为椭圆C上一点(不与A重合),若
4、POPA=0(O是坐标原点),则ca(c为半焦距)的取值范围是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上说法都不对12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P.若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为()A.3-1B.3-12C.22D.5-1213.(多选题)设A,B是椭圆C:x24+y2k=1长轴的两个顶点,若C上存在点P满足APB=120,则k的取值可以是()A.43B.2C.6D.1214.(多选题)设椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A
5、,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是()A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为13,43D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=42315.已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,F1PF2=120,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为.16.椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为,此时点P的坐标为.17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点P3,12,离心率是32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若
6、直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M12,12,求直线l与坐标轴围成三角形的面积.C级学科素养创新练18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若椭圆C的左焦点为F1,过点F1的直线l与椭圆C交于D,E两点,则在x轴上是否存在一个定点M使得直线MD,ME的斜率互为相反数?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.培优课椭圆的综合问题及应用1.C2.A3.A设P(x0,y0),则依题意有SF1PF2=12|F1F2|y0|=1,而|F1F2|=23,所以y0=33.故得x0=263.取P263,33,可得PF1
7、PF2=0.4.D设直线m与x2+2y2=2的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中点P(x0,y0),且x0=x1+x22,y0=y1+y22,将P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入x2+2y2=2,可得x12+2y12=2,x22+2y22=2,两式相减,可得x12x22+2(y12y22)=0,则由于k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0=y1+y2y1+y2,所以1+2y1-y2x1-x2y1+y2y1+y2=0,即1+2k1k2=0,所以k1k2=-12.5.B点P为椭圆x29+y28=1上的任意一点,设P(x,y)(-3x3,-22y22),依题意得左焦点F(-
8、1,0),OP=(x,y),FP=(x+1,y),OPFP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19x+922+234.-3x3,619x+922+23412,即6OPFP12.6.22由y=1-x,mx2+ny2=1消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为nm+n,mm+n.所以kOP=mn=22.7.y=2x13设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由x23+y22=1,y=2x+m,消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,=-24m2+3360,-14m0,n2b0)的短轴长为
9、2b=2,得b=1,又SF1AB=12(a-c)b=2-32,解得a-c=2-3,a=2,c=3,|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF1|=x,则|PF2|=4-x,xa-c,a+c,即x2-3,2+3,1|PF1|+1|PF2|=1x+14-x=44-(x-2)21,4.10.A设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=1,又因为A,B在椭圆上,所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减,得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-b2a2,kAB=y1-y2x1-x2=kFP=-bc,kOM=y1+y2x1+x2=12,bc=2b
10、2a2,a2=2bc,平方可得a4=4(a2-c2)c2,c2a2=12,ca=22.11.B设P(x0,y0)(x0a),POPA=0(O是坐标原点),则点P在以OA为直径的圆上,(x0-a2)2+y02=a24,b2x02+a2y02=a2b2,即c2x02-a3x0+a2b2=0,即(c2x0-ab2)(x0-a)=0,x0=a,或x0=ab2c2,x0a,故x0=ab2c2,0ab2c2a.b2c2,即a2-c222,ca的取值范围是22,1,故选B.12.A如图所示,依题意得F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=2a-c.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,(2a-
11、c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,e2+2e-2=0,解得e=3-1或e=-3-1(舍).故选A.13.AD若C上存在点P满足APB=120,则只需当点P在短轴顶点时APB120.故分析长半轴与短半轴的关系即可.当焦点在x轴时,若APB120,则23k,0k404k12.故k0,4312,+),由选择项可知,AD符合题意.14.BD设直线方程为y=kx+b,联立x22+y24=1,y=kx+b,得到(k2+2)x2+2kbx+b2-4=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则有xA+xB=-2kbk2+2,xAxB=b2-4k2+2,所以yA+yB=k(xA+xB)+2b=
12、-2k2b+2k2b+4bk2+2=4bk2+2,故中点MxA+xB2,yA+yB2为-kbk2+2,2bk2+2.直线OM的斜率kOM=-2bkb=-2k,所以kkOM=-2-1,A不正确;若M(1,1),则xA+xB=-2kbk2+2=2,yA+yB=4bk2+2=2,解得k=-2,b=3,即所求直线方程为2x+y-3=0,B正确;若y=x+1,则k=b=1,故xA+xB2=-kbk2+2=-13,yA+yB2=2bk2+2=23,C不正确;若y=x+2,则k=1,b=2,|AB|=k2+1(xA+xB)2-4xAxB=2(-43)2-40=423.故D正确.15.134设|PF2|=m(
13、m0),则|PF1|=3m,由F1PF2=120得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120,即4c2=9m2+m2+3mm,因此,c=132m.又2a=|PF1|+|PF2|=4m,a=2m,e=ca=132m2m=134.16.25(3,0)设F1,F2为椭圆的两焦点,m=|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=2a22=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立.此时m取最大值25,即点P在短轴端点时,m取最大值,所以此时点P的坐标为(3,0).17.解(1)由已知可得ca=32,3a2+14b2=1,c2=a2-b2,解得a=2,
14、b=1.椭圆的方程为x24+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x124+y12=1,x224+y22=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)=0,由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1.直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-14,可得直线AB的方程为y-12=-14x-12,令x=0,可得y=58,令y=0,可得x=52,则直线l与坐标轴围成的三角形面积为S=125852=2532.18.解(1)据题意,得2b=23,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=
15、1.(2)存在.据题设知点F1(-1,0),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1).由y=k(x+1),x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设E(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.设M(m,0),则直线MD,ME的斜率分别满足kMD=y2x2-m,kME=y1x1-m.又因为直线MD,ME的斜率互为相反数,所以kME+kMD=y1x1-m+y2x2-m=x2y1+x1y2-m(y1+y2)(x1-m)(x2-m)=0,所以x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+x1k(x2+1)-mk(x1+1)+k(x2+1)=0,所以2kx1x2+k(x1+x2)-mk(x1+x2)+2k=0,所以2k4k2-124k2+3+k-8k24k2+3-mk-8k24k2+3+2k=0,所以k(m+4)=0.若k(m+4)=0对任意kR恒成立,则m=-4,当直线l的斜率k不存在时,若m=-4,则点M(-4,0)满足直线MD,ME的斜率互为相反数.综上,在x轴上存在一个定点M(-4,0),使得直线MD,ME的斜率互为相反数.
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