1、第一章综合训练一、单项选择题1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB,AD,BD()A.有相同的始点B.等长C.共面D.不共面2.已知A,B,C,D,E是空间中的五个点,其中点A,B,C不共线,则“存在实数x,y,使得DE=xAB+yAC”是“DE平面ABC”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD14.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,则AB+12BC+12BD等于()A.ADB.GAC.AGD.M
2、G5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.266.已知两不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能7.直线AB与直二面角-l-的两个半平面分别交于A,B两点,且点A,B都不在棱l上,设直线AB与,所成的角分别为和,则+的取值范围是()A.0+90B.0+90C.90+0),向量v与z轴正方向的夹角的余弦值cos=zv|z|v|
3、=ttc2+d2+1=22,=45,向量v与z轴正方向的夹角为定值45(与c,d之值无关),故A正确;在B中,uv=ac+bda2+c22+b2+d22=a2+b2+c2+d22=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此uv的最大值为1,故B错误;在C中,由上可得|uv|1,-1uv1,cos=uv|u|v|=ac+bda2+b2c2+d2+1-112=-22,u与v的夹角的最大值为34,故C正确;在D中,ad+bca2+d22+b2+c22=a2+b2+c2+d22=1,ad+bc的最大值为1,故D正确.9.AC若p=xa+yb,则p与a,b肯定在同一平面内,故A为真命题;若p与a,b共面,
4、但如果a与b共线,则p不一定能用a,b来表示,故B为假命题;同理,D也为假命题;若MP=xMA+yMB,则MP,MA,MB三向量在同一平面内,所以点P,M,A,B共面,故C为真命题.10.BCDA.等号左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.等号左边=(4,2,2)(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=59,a-b-c=(-1,-3
5、,7),|a-b-c|=59,左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.BCD设正方体的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,G12,0,1,A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),则A1E=0,12,-1,AC1=(-1,1,1),BF=-1,0,12,DG=12,0,1,CH=0,-12,1,所以A1EAC1=-12,所以A1E与AC1不垂直,故A错误;显然平面ADD1A1的一个法向量v=(0,1,0),
6、有BFv=0,又BF平面ADD1A1,所以BF平面ADD1A1,故B正确;BFDG=0,所以BFDG,故C正确;A1E=-CH,又点A1,E,C,H不在同一直线上,所以A1ECH,故D正确.12.ABD如图所示,取BD的中点O,连接OC,OA,CA,由题意易知,BD,OA,OC两两垂直,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),ACBD=0,故ACBD,A正确.又|A
7、C|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD为等边三角形,B正确.对于C,OA为平面BCD的一个法向量,所以ABD为AB与平面BCD所成的角,易得ABD=45,所以AB与平面BCD所成的角为45,故C错误.又cos=ABCD|AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60,故D正确.13.-a22在棱长为a的正四面体ABCD中,易知AB=BC=a,且AB与BC的夹角为120,ACBD.ABBC+ACBD=aacos120+0=-a22.14.-2由题中条件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x
8、,3,-2y-2),因为(a+2b)(2a-b),所以存在R使得a+2b=(2a-b),即1+2x=(2-x),4=3,-y+4=(-2y-2),所以=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.37如图,作ADBC于点D,PA面ABC,PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,连接PD,则PDBC,P到BC的距离PD=7.16.3以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示.不妨设AB=AC=AA1=1,CN=b,BM=a,0a1,0b1,则N(0,1,b),M(1,0,a),A(0,0,0),B(1,0,0),所以AM=(1,0,a),AN=(0
9、,1,b).设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则nAM=x+az=0,nAN=y+bz=0.令z=1,此时n=(-a,-b,1),易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).因为平面AMN与平面ABC所成的角为6,所以|cos|=|mn|m|n|=1a2+b2+1=32,化简可得3a2+3b2=1.当B1M最小时,则b=0,BM=a=33,所以tanAMB=ABBM=133=3,则AMB=3.17.解BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AMAC)=AD+12AM-(AD+AB)=-12AB+12AD+12AM.所以BN=-12a+12b+12c,|BN|2=BN2=-
10、12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc).因为|a|=2,|b|=2,|c|=3,=90,=60,=60,所以ab=0,ac=23cos60=3,bc=23cos60=3,所以|BN|2=174.所以|BN|=172,即BN的长为172.18.解(1)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以ab=32+51-48=-21.(2)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4).由题意得(a+b)n=0,(a+b)(a+b)=53,所以-4+8=0,29+48=53,解得=1,=12.19.解(1)B(1,-1,-2),C(3,0,-4),
11、BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),|c|=3,且cBC,c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由题得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),向量ka+b与b互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos=ABAC|AB|AC|=-125=-110,sin=
12、1-110=310,SABC=12|AB|AC|sin=1225310=32.20.证明(1)如图,连接BG,由题意可知,BD=2EH,BC=2BF,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,所以E,F,G,H四点共面.(2)因为EH=AHAE=12AD12AB=12(ADAB)=12BD.所以EHBD,又EH平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD平面EFGH.(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=12BD,同理FG=12BD,所以EH=FG,所以EHFG,EH=FG,所以EG,FH交于一点M且被点M平分,所以OM=12(OE+
13、OG)=1212(OA+OB)+12(OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).21.证明(1)如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.E,M分别为AC,BC的中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM.则点A1,B1,M,E四点共面.故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.(2)BFA1B1,BFAB,AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2
14、+AC2,AC2=8,则ABBC.如图,以B为原点,BA,BC,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).则EF=(-1,1,1),设DB1=t,0t2,则D(t,0,2),ED=(t-1,-1,2).则平面BB1C1C的一个法向量为m=(1,0,0),设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),EFn=0,EDn=0,即-x+y+z=0,-y+(t-1)x+2z=0,令x=3,此时n=(3,1+t,2-t).则cos=3(1+t)2+32+(2-t)2=32t2-2t+14.设平面BB1C1C与平
15、面DFE所成的二面角的大小为,则sin=1-cos2,要使sin最小,只需92t2-2t+14最大,又0t2,当t=12时,92t2-2t+14最大,即sin最小,此时B1D=12.故当B1D=12时所求二面角正弦值最小.22.(1)证明ADBC,Q为AD的中点,BC=12AD,BCQD,BC=QD,四边形BCDQ为平行四边形,BQCD.ADC=90,BCBQ.PA=PD,AQ=QD,PQAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面ABCD,PQBC.又PQBQ=Q,BC平面PQB.BC平面PBC,平面PBC平面PQB.(2)解由(1)可知AQ,BQ,PQ两两垂直.如
16、图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-1,3,0),QB=(0,3,0),DC=(0,3,0),DP=(1,0,3),PC=(-1,3,-3),PC=(-1)2+(3)2+(-3)2=7.设PM=PC,则PM=(-,3,-3),且01,得M(-,3,33),QM=(-,3,3(1-).设平面MBQ的一个法向量为m=(x,y,z),则QMm=0,QBm=0,即-x+3y+3(1-)z=0,3y=0.令x=3,则y=0,z=1-,此时m=3,0,1-.设平面PDC的一个法向量为n=(x,y,z),则DCn=0,DPn=0,即3y=0,x+3z=0.令x=3,则y=0,z=-3,此时n=(3,0,-3).又平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60,cos60=|nm|n|m|=|33-31-|123+(1-)2=12,=12.PM=12PC=72.即当PM=72时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60.
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