1、第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第2课时 空间中的夹角问题学习目标素养要求1理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义直观想象、抽象数学2能够用向量法解决线线、线面、二面角的计算问题直观想象、数学运算|自 学 导 引|空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos _|cosa，b|角的分类向量求法范围直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin _二面角设二面角l为，平面，的法向量分别为n1，n2，则|cos|_|cos
2、a，n|cosn1，n2|0，1思维辨析(对的画“”，错的画“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()(2)直线l的方向向量与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角()(3)二面角l的大小为，平面，的法向量分别为n1，n2则n1，n2()【答案】(1)(2)(3)【预习自测】【答案】A3已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45B135C45或135D90【答案】C|课 堂 互 动|题型1 异面直线所成的角如图，在四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD且ABBC6，BD8，E为AD中点，求异面直线
3、BE与CD所成角的余弦值解：ABBC，ABBD，BCBDB，AB平面BCD分别以BC的垂线，BC，BA三直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解(1)证明：在PAD中，由E，F为PD，PA中点得EF为中位线，EFAD又底面为矩形，ADBC，EFBC由平行线确定唯一平面得E，F，B，C在同一平面上题型2 直线与平面所成的角如图，在四棱锥PABCD中，平面
4、PAB底面ABCD，ADBC，ABC90，APB90(1)求证：APPC；(2)设AB5，APBC2AD4，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值(1)证明：因为平面PAB底面ABCD，ABC90，所以BC平面PAB，则BCAP又因为APPB，且PBBCB，故AP平面PBC，所以APPC图1图2利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图3如图，已知四棱锥SABCD，SDSB，在平行四边形ABCD中，ADCD，Q为SC上的点，过AQ的平面分别交SB，SD于点E，F，且BD平面AEQF(1)证明：如图1，连接AC交BD于点
5、O，因为四边形ABCD为平行四边形，且ADCD，所以四边形ABCD为菱形，所以ACBD因为BD平面AEQF，平面AEQF平面SBDEF，BD平面SBD，所以BDEF因为BDAC，所以EFAC图1 图2审题指导：(1)要证明DE平面ACD，需要证明DE与平面ACD内两条相交直线垂直，其中DEDC较明显，由平面ABC平面BCDE，且ACBC，证得AC平面BCDE，从而DEAC(2)要求二面角BADE的大小，可先以D为原点建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式计算二面角的大小【题后悟道】1利用条件建立空间直角坐标系充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系，使几何体的顶点尽量多地落在
6、坐标轴上，建系或在求点的坐标时用到的位置关系和数量关系要进行必要的说明，如本例中，AC平面BCDE，不仅用于证明ACDE，还为求点A的坐标提供依据|素 养 达 成|2向量法求直线与平面所成角的原理1(题型2)若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C30D以上均错【答案】C【解析】由直线与平面所成的角的范围及与向量所成角的关系知直线l与平面所成的角等于90(180120)302(题型3)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45B135C90D45或135【答案】D【答案】D4(题型1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_
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