1、第一章 空间向量与立体几何章末素养提升|体 系 构 建|核 心 归 纳|1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一的实数，使得ab(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
2、唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)5空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的
3、法向量有无数个，它们是共线向量(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0|素 养 提 升|素养1 数学运算角度1 基向量的运算如 图，在 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60(1)求AC1的长；(2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值基向量运算的注意点(1)基向量的选择：三个向量不共面且模和夹角已知或能求，使下一步的计算成为可能(2)基向量的
4、运算常常与共线向量定理、共面向量定理、平面向量基本定理等相结合，各个定理要理解准确(3)加减运算中注意表示向量的字母规律，数量积运算中注意两向量夹角的确定(2)证明：AA1底面ABC，AA1AC，AA1ABac0，ab0AB1BC1，(ab)(acb)0|a|2|b|2acbc|a|2|b|2bc0A1CBC1，(ca)(acb)0，|c|2|a|2bc0|b|2|c|2，|b|c|，即ABACAB1A1C角度2 坐标运算如 图，在 棱 长 为 a的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点(1)求证：DEC1F；(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值2
5、如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点(1)求证：PA平面BDE；(2)求二面角BDEC的余弦值(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PDDC2，则A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，素养2 逻辑推理如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，P为侧棱CC1上一点(1)求 证：侧 棱 CC1上 不 存 在 点 P使 B1P平 面ABB1A1(2)CC1上是否存在点P使得B1PA1B？若存在，确定PC的长；若不存在，说明理由(
6、1)证明：(反证法)若CC1上存在点P，使B1P平面ABB1A1，则平面BCC1B1平面ABB1A1又BCBB1，BC平面ABB1A1BCAB，与题意矛盾CC1上不存在点P使B1P平面ABB1A1巧用空间向量证明空间中的位置关系(1)线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；可在平面内找到一个向量，证明其与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的性质定理转化为线线垂直问题(3)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(4)面面垂
7、直：证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题3如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADCDCB90，AD1，BC3，PCCD2，PC底面ABCD，E为AB的中点求证：(1)AD平面PCB；(2)平面PDE平面PAC证明：(1)ADCDCB90，ADBC，且AD平面PCB，BC平面PCBAD平面PCB(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，|链 接 高 考|(2020年浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2B
8、C(1)求证：EFDB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值线面角图1方法二，由三棱台ABCDEF，得DFCO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为如图2，以O为原点，分别以射线OC，OD为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题面面角(2)取A1B的中点E，连接AE，因为AA1AB，所以AEA1B又因为平面A1BC平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1A1B，且AE平面ABB1A1，所以AE平面A
9、1BC在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，由BC平面A1BC，BC平面ABC，得AEBC，BB1BC又因为AE，BB1平面ABB1A1且相交，所以BC平面ABB1A1所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，【点评】本题考查空间向量的相关计算，平面与平面所成的角的求法，能够根据题意求出点D的坐标是解题的关键(2019年新课标)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)求证：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离距离图1ME綉ND四边形MNDE是平行四边形，故MNED又MN平面C1DE，MN平面C1DE方法二，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点DD1平面ABCD，DEAD以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图2，【点评】本题考查线面平行的证明，点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识以及推理能力与计算能力，属于中档题
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