1、考点一向量的数量积1(2022山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60 ，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.答案D2(2022安徽，8)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)解析由于ABC是边长为2的等边三角形；()()0，即()0，(4ab)，即(4ab)，故选D.答案D3(2022四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满
2、足3，2，则()A20 B. 15 C9 D6解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，选C.答案C4(2022福建，9)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13 B15 C19 D21解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，P(1，4)，(1，t4)1717213，故选A.答案A5(2022新课标全国，3)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5 解析由向量的数量积运算可知，|ab|，(ab)210，a2b22ab10，同理a2b22ab6，得4ab4，ab1.答案A6(2
3、022大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B. C1 D.解析由题意得2a2b20，即2|a|2|b|20，又|a|1，|b|.故选B.答案B7(2022北京，10)已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_.解析|a|1，可令a(cos ，sin )，ab0，即由sin2cos21得25，得|.答案8(2022江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析因为a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos
4、18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .答案9(2022山东，15)已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_解析，又，()()0.220，即4(1)3290，即7120，.答案10(2022北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)设E(x，1)，那么(x，1)，(0，1)，1.(1，0)，x.正方形的边长为1，x的最大值为1，故的最大值为1.答案11考点二平面向量的长度与角度问题1(20
5、22重庆，6)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D解析由题意(ab)(3a2b)3a2ab2b20，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，所以3cos 20，cos ，选A.答案A2(2022陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cos|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立故选B.答案B 3.(2022天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，BAD
6、120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.解析如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，1)，B(，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得(1)(，1)，(1)(，1)因为，所以3(1)(1)(1)(1)，即(1)(1).因为(，1)(，1)，又1，所以(1)(1)2.由整理得.选C.答案C4(2022辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2解析设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，
7、y)，bc(x，1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc|abc|，由xy1，|abc|1，最大值为1.答案B5(2022天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则|的最小值为_解析在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 6021cos 60cos 1202，当且仅当，即时，取得最小值为.答案6(2022湖北，11)设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.解析(ab)(ab)(ab)(
8、ab)a22b20182203.答案37(2022江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_解析因为，所以()()|2|22，将AB8，AD5代入解得22.答案228(2022浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析|b|2(xe1ye2)2x2y22xye1e2x2y2xy.，当x0时，0；当x0时，2.答案29(2022新课标全国，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析bc0，bta(1t)b0，tab(1t)b20，又|a|b|1，a，
9、b60，t1t0，t2.答案210(2022新课标全国，13)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析|2ab|(2ab)2104|b|24|b|cos 4510|b|3或|b|(舍去)答案3考点三数量积的综合应用1(2022浙江，7)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC解析设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(2，0)，B(2，0)，则P0(1，0)，设C(a，b)，P(x，0)，(2x，0)，(ax，b)，(1，0)，(a1，b)，则(2x)(a
10、x)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立，(2a)24(a1)a20恒成立，a0，即点C在线段AB的中垂线上，ACBC，选D.答案D2(2022广东，8)对任意两个非零的平面向量和，定义 .若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则a b()A. B1 C. D.解析由定义知a bcos .b acos .a b，b a.设a b，b a(m，nZ)则cos ，cos ，两式相乘，得cos2.又，cos ，cos2，mn4cos2(2，4)又m，nZ，m0，n0，mn，m3，n1，a b.答案C3(2022浙江，15)已知e1，e2是空间单位向量，e1e
11、2，若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.解析e1e2|e1|e2|cose1，e2，e1，e2.不妨设e1，e2(1，0，0)，b(m，n，t)由题意知解得n，m，b.b(xe1ye2)，|b(xe1ye2)|2t2x2xyy24x5yt27(y2)2t2.由题意知，当xx01，yy02时，(y2)2t2取到最小值此时t21，故|b|2.答案1224(2022广东，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.10
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