1、考点一抛物线的定义及方程1(2022新课标全国，11)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由y2px0，得162p，解之得p2，或p8.所以C的方程为y24x或y216x，故选C.答案C2(2022安徽，9)过抛物线y24
2、x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A. B. C. D2解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12.A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k2.直线AB的方程为y2(x1)，即为2xy20，则点O到该直线的距离为d.由消去y得，2x25x20，解得x12，x2.|BF|x21，|AB|3.SAOB|AB|d.答案C3(2022陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析由抛物线的准线方程为x2知抛物线的焦点在x轴的正半轴上
3、，2p4.抛物线的方程为y28x，故选B.答案B4(2022陕西，14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_解析由于双曲线x2y21的焦点为(，0)，故应有，p2.答案2 5(2022湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_解析由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|pa，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b22pa22ab，变形得10，解得1或1(舍去)，所以1.答案16(2022大纲全国，21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P
4、，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解(1)设Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x
5、，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.7(2022广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直
6、线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解(1)依题意，设抛物线C的方程为x24cy(c0)，由，结合c0，解得c1.抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.切线PA，PB均过点P(x0，y0)，x1x02y02y10，x2x02y02y20，和为方程x0x2y02y0的两组解直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛
7、物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01，又点P(x0，y0)在直线l上，x0y02，yx2y012y2y052，当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.考点二抛物线的几何性质1(2022天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析双曲线1的渐近线方程为yx，
8、又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1，选D.答案D2(2022浙江，5)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.解析由图象知，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故选A.答案A3(2022北京，7)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.解析由抛物线方程可知抛
9、物线的焦点为F(0，1)，所以直线l的方程为y1.设直线l与抛物线的交点为M、N，分别过M、N作x轴的垂线MM和NN，交x轴于点M、N，如图故所求图形的面积等于阴影部分的面积，即S42dx，故选C.答案C4(2022四川，8)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A. B2 C4 D2解析由题意知可抛物线方程为y22px(p0)，则23，p2，y24x，y428，|OM|2.答案B5(2022上海，3)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_解析c2954，c2.椭圆1的右焦点为(2
10、，0)，2，即p4.抛物线的准线方程为x2.答案x26(2022浙江，15)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_解析设lAB：yk(x1)，与抛物线y24x联立得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q，其中，|FQ|2，解得k1.答案17(2022新课标全国，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点p(0，a)符合题意.8
