1、考点一正弦定理、余弦定理的应用1(2022广东，5)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A，且bc，则b()A. B2 C2 D.解析由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又bc，b2.答案C2(2022北京，5)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B等于()A. B. C. D1解析根据正弦定理，则sin Bsin A，故选B.答案B3(2022湖南，5)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.解析由正弦定理.又2asin Bb，即.则
2、有，可得sin A，由于ABC是锐角三角形，故A.答案A4(2022山东，7)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c等于()A2 B2 C. D1解析由正弦定理得：，即，所以cos A，又A(0，)，所以A，B，C，c2.答案B5(2022安徽，9)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则角C等于()A. B. C. D.解析由3sin A5sin B，得ba.又bc2a，所以c2aba.由余弦定理可得cos C，C(0，)，所以C.答案B6(2022湖南，8)在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高
3、等于()A. B.C. D.解析如图，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos B，即7AB2422AB，AB22AB30，AB3或AB1(舍去)，则BC边上的高ADABsin B3sin 60.答案B7(2022北京，11)在ABC中，a3，b，A，则B_解析由正弦定理得sin B，因为A为钝角，所以B.答案8(2022重庆，13)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_解析由3sin A2sin B，得3a2b，ba23，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C223222316，解得c4.答案49(2022安
4、徽，12)在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.解析由已知C60，由正弦定理得，AC2.答案210(2022湖北，13)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_解析由正弦定理得sin B，又B，所以B或.答案或11(2022福建，14)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB等于_解析在ABC中，根据正弦定理，得，所以，解得sin B1，因为B(0，)，所以B，所以AB1.答案112(2022北京，12)在ABC中，a1，b2，cos C，则c_；sin A_解析根据余弦定理，c2a2b22abcos C12222124，故c2，因为cos C，于是si
5、n C，于是，由正弦定理，sin A(或：由a1，b2，c2，得cos A，于是，sin A)答案213(2022北京，11)在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_解析由正弦定理得，即，sin B.又ab，AB，B.又ABC，C.答案14(2022福建，13)在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，则AC_解析由正弦定理知，代入数据得，AC.答案15(2022北京，9)在ABC中，若b5，B，sin A，则a_解析由正弦定理，得a.故填.答案16(2022江苏，15)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值解(1)由余弦定理知，BC2AB2A
6、C22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2.17(2022新课标全国，17)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面积为1.18(2022重庆，18)在ABC中
7、，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值解(1)由题意可知：c8(ab).由余弦定理得：cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C可得：sin Asin B2sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知：ab3c.又因abc8，故ab6.由于Sabsin
8、Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.19(2022山东，17)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解(1)在ABC中，由题意知sin A，又因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理可得b3.(2)由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.20(2022陕西，16)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：s
9、in Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，且c2a，求cos B的值(1)证明a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC) sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)解由题设有b2ac，c2a，ba，由余弦定理得cos B.21(2022天津，16)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B.求：(1)b的值；(2)sin的值解(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由
10、b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，进而得cos 2B2cos2B1，sin 2B2sin Bcos B.所以sinsin 2Bcos cos 2Bsin .22(2022浙江，18)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.考点
11、二解三角形及其应用1(2022四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析tan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)，故选C.答案C2(2022新课标全国，4)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1C22 D.1解析由正弦定理及已知条件得c2.又sin Asin(BC)，SABC221，故选B.答案B3(2022新课标全国，10)已知锐角A
12、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b等于()A10 B9 C8 D5解析由23cos2Acos 2A0得25cos2A1，因为A为锐角，所以cos A.又由a2b2c22bccos A得49b236b，整理得5b212b650，解得b(舍)或b5，故选D.答案D4(2022四川，8)在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是()A. B.C. D.解析由正弦定理，得a2b2c2bc，由余弦定理，得cos A.又0A，所以0A.故选C.答案C5(2022湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
13、驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析依题意，在ABC中，AB600，BAC30，ACB45，由正弦定理得，得BC300，在RtBCD中，CDBCtan 30100(m)答案1006(2022新课标全国，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析在三角形ABC中，AC100，在三角形MAC中，解得MA100，在三角形MNA中，si
14、n 60，故MN150，即山高MN为150 m.答案1507(2022上海，5)已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c.若a2abb2c20，则角C的大小是_解析由a2abb2c20可得a2b2c2ab；由余弦定理得cos C，所以C.答案8(2022陕西，13)在ABC中，角A、B、C所对应的边的长分别为a，b，c，若a2，B，c2，则b_解析由余弦定理，得b222(2)2222cos 412124，所以b2.故填2.答案29(2022新课标全国，17)在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解(1)由正弦定理得，.因为AD平分
15、BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sinCsin(BACB)cosBsinB.由(1)知2sinBsinC，所以tanB，即B30.10(2022天津，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由cos A，可得sin A.由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2Acos sin 2Asin(2cos2A1)2sin Aco
16、s A.11(2022山东，17)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin (AB)，ac2， 求sin A和c的值解在ABC中，由cos B，得sin B，因为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可知C为锐角所以cos C.因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c，又ac2，所以c1.12(2022湖南，17)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A.(1)证明：sin Bcos A；(2)若sin Csin Acos B，且B为钝角，求A，B，C.解(1)
17、由正弦定理知2R，a2Rsin A，b2Rsin B，代入abtan A得：sin Asin B，又A(0，)，sin A0，1，即sin Bcos A.(2)由sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于B是钝角，故A，cos A，A.sin B，B，C(AB).13(2022浙江，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan2.(1)求的值；(2)若B，a3，求ABC的面积解(1)由tan2，得tan A.所以.(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.
18、又由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin得sin C，设ABC的面积为S，则Sabsin C9.14(2022湖南，19)如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，BEC.(1)求sinCED的值；(2)求BE的长解如题图，设CED.(1)在CDE中，由余弦定理，得EC2CD2DE22CDDEcosEDC.于是由题设知，7CD21CD，即CD2CD60.解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理，得，于是，sin，即sinCED.(2)由题设知，0，于是由(1)知，cos .而AEB，所以cos AEBcoscoscos sinsin cos sin .在RtEAB中，cosAEB，故BE4.15
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