1、2021-2022 学年度下学期高三年级二调考试数学试卷本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 卷 (非选择题)两部分,共 分, 考试时间 分钟.第 I 卷(选择题 共 分)一、选择题(本题共 小题,每小题 分, 共 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 , 则 A. B. C. D. 2. 若 , 则 的虛部为A. B. C. D. . 设 , 则A. B. C. D. 4. 已知像 这样只能被 和它本身整除的正整数称为素数 (也称为质数), 设 是正整数, 用 表示不超过 的系数个数, 事实上, 数学家们已经证明, 当 充分大时, , 利用此公式求出不超过
2、 的素数个数约为 5. 宫灯又称宫廷花灯, 是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一, 如图为一件三层六 角宫灯,三层均为正六棱柱,其中上下层正棱柱的底面周长均为 ,高为 ,中间一层角宫灯,三层均为正六棱柱,其中上、下层正棱柱的底面周长均为 ,高为 ,中间一层 的正棱柱高为 . 设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子,则该盒子的表面积至少为( )A. B. C. D. 6. 在抛物线 上有三点 为其焦点, 且 , 则 A. B. 8 C. D. 7. 双曲余弦函数 是高等数学中重要的函数之一. 定义在 上的函数 的图像关于点 对称, 且当 时, , 则不等式 的解集为A. B. C. D
3、. 8. 在正方体 中, 是侧面 的中心, 分别是 的中点, 点 分别在线段 上运动, 则 的最小值为 二、选择题(本题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得 分,部分选对的得 分,有选错的得 分) 9. 下列命题正确的是 A. 右 , 则 B. 设函数 , 若 , 则 C. 知函数 ,则 D. 设函数 的导函数为 , 且 , 则 10. 已知曲线 方程为: , 则下列结论正确的是A. 若 , 则曲线 为双曲线 B. 若曲线 为椭圆, 则其长轴长为 C. 曲线 不可能为一个圆 D. 当 时, 其渐近线方程为 11. 大衍数列, 来源于乾坤谱中
4、对易传“大衍之数五十”的推论. 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项, 都代表太极衍生过程中, 曾经经历过的两仪数量总和, 是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题. 其前 项依次是 , ,则下列说法正确的是A. 此数列的第 项是 B. 此数列的第 项是 C. 此数列偶数项的通项公式为 D. 此数列的前 项和为 12. 函数 在区间 上的最小值为 , 且在区间 上唯一的极大值点为 , 则下列说法正确的有A. B. 在 上不单调 C. D. 第 II 卷(非选择题 共 分)三、填空题 (本题共 小题,每小题 分,共 分)13. 曲线 在点 处的切线方程为 .14.
5、如图,三个边长为 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 上有 个不同的点, 记 , 则 的值为 .15. 函数 的最小值为 .16. 已知 , 则 的最大值为 ; 则 的取值范围是 .四、解答题 (本题共 小题, 共 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10 分)已知数列 满足 , 且 .(1) 求 ;(2) 若 , 求数列 的前 项和 .18. (12 分)如图 (1) 所示, 在直角梯形 中, , 边 上一点 满足 , 现将 沿 折起到 的位置,使平面 平面 ,如图所示.(1) 求证: ;(2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.19.(12 分)在下列三个条件中
6、任选一个, 是 和 的等差中项; ; , 补充在下面的问题中, 并解答问题.在 中, 内角 所对的边分别 , 且满足条件 （填写所选条件的序号).(1) 求角 ;(2) 若 , 求锐角 周长的取值范围.注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.20. (12 分)已知椭圆 长轴长为 在 上运动, 为 的两个焦点, 且 的最小值为 .(1) 求 的方程;(2) 已知过点 的动直线 交 于 两点, 线段 的中点为 , 若 为定值, 试求 的值.21.(12 分)非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志, 是优秀传统文化的重要组成部分.瑞昌剪纸于 年列人第二批国家级非物质文化遗
7、产名录. 由于瑞昌地处南北交汇处,经过千年的南北文化相互浸润与渗透,瑞昌剪纸融人了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放. 为了弘扬中国优秀的传统文化,某校将举办一次剪纸比赛,共进行 轮比赛,每轮比赛结果互不影响, 比赛规则如下:每一轮比赛中, 参赛者在 分钟内完成规定作品和创意作品各 幅,若有不少于 幅作品人选,将获得“巧手奖”. 轮比赛中, 至少获得 次“巧手奖”的同学将进入决赛. 某同学经历多次模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各 幅,其中有 幅规定作品和 幅创意作品付合人选标准. （1）从这 幅训练作品中,随机抽取规定作品和创意作品各 幅,试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率;(2)以上述两类作品各自人选的频率作为该同学参赛时每幅作品人选的概率,经指导老师对该同学进行赛前强化训练, 规定作品和创意作品人选的概率共提高了 , 以获得 “巧手奖”的次数期望为参考, 试预测该同学能否进入决赛?22.(12 分)已知函数 存在极值点.(1)求实数 的取值范围;(2) 若 是 的极值点, 求证: .参考数据: .