1、第八节 函数模型及应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第八节 函数模型及应用 双基研习面对高考 1函数模型的应用需要多种知识和技能，并且要细致审题，弄清题目的条件和所求，挖掘题目中的隐含条件，优化解题策略，选择恰当的函数模型，转化为具体的数学问题来解决，同时要注意函数的定义域与实际问题的关系双基研习面对高考 基础梳理 2解答数学应用题时应注意的关键点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理地选取参变数，设定变元后就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，处理相应的函数、方程、不等式等
2、数学模型，最终求解数学模型，使实际问题得到解决一般的解题程序是：读题(文字语言)建模(数学语言)求解(数学应用)反馈(检验作答)3与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的_ 解答这类问题的关键是准确建立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答最优化问题4对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论上，应在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中，比如_，以及基本的函数模型，比如简单的_、_与_结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解，再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系例如，平均
3、增长率的问题：如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间为x的总产值y，有yN(1p)x.分段函数幂函数指数函数对数函数5数学应用问题形式多样，解法灵活在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关实际问题解答此类题型主要有如下三种方法：(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的_，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解(2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较数学模型(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要哪种数学模型，则可根
4、据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决6在实际问题中，有关产量增长、人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，P为增长率，x为时间)的形式另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用7现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到各段合理，不重不漏8应用题一般文字较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，这就要求学生有较强的阅读理解
5、能力、捕捉信息能力、归纳抽象能力因此，要解好数学应用题，首先应当加强、提高理解能力，然后将普通语言转化为_和_，将实际问题转化为数学问题，再应用数学方法、数学思想去解决问题，这个过程的每一个环节都必须引起注意数学语言数学符号1某商店将原价每台2640元的彩电以9折出售后仍获利20%，则彩电每台进价为_解析：设进价为a，则264090%a20%a，解得a1980.答案：1980课前热身 2某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(xN)的关系为yx212x25，则每辆客车营运_年可使其营运年平均利润最大解析：设年平均利润为 g(x)，则 g(
6、x)x212x25x12(x25x)，x25x 2x25x 10，当 x25x，即 x5 时，gmax(x)2.答案：53某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工若该工程总天数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是_解析：分析题意可知，B、D工序不能同时进行，B、D工序共需549天，而完成总工序的时间为9天，表明A、B同时开工，A完成后C开工且52x，x3，故x最大值为3.答案：34某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为100元时可
7、全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为_元解析：设提高x元，则获利润y(100 x)(10005x)8010005(x50)232500，当x50时，ymax32500，此时定价为150元答案：150考点探究挑战高考 考点突破 一次函数、二次函数模型 一次函数、二次函数模型多数用来求最值，由于一次函数是单调函数，所以在用其求最大值或最小值时要考虑其定义区间端点处的函数值；用二次函数模型求最值，除了考虑定义区间端点处的函数值外，还要考虑在对称轴处对应的函数值(2011年镇江质检)某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完该公
8、司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图中、所示，其中图中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)例1(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？【解】(1)f(t)2t 0t306t24030t40，g(t)320t26t(0t40)(2)每件产品 A 的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为h(t
9、)3t0t20，6020t40.设这家公司的日销售利润为 F(t)则F(t)3t 320t26t2t，0t2060 320t26t2t，20t3060 320t26t6t240，30t40 3t 320t28t，0t2060 320t28t，20t3060 320t2240.30t40当 0t20 时，F(t)2720t248tt(482720t)0，故 F(t)在0,20上单调递增，此时 F(t)的最大值是 F(20)60006300；当 20t30 时，令 60(320t28t)6300，解得703 t30；当 30t40 时，F(t)60(320t2240)60(320302240)63
10、00.故第一批产品 A 上市后第 24 天到第 30 天前，这家公司的日销售利润超过 6300 万元【名师点评】(1)对于一些较复杂的应用问题，往往不能用一个关系式给出，而要构造由几个不同的关系式构成的分段函数(2)求分段函数的最值，应分段求出再加以比较变式训练1 某电脑公司准备将100台同类型的电脑租给某大学的学生根据市场调查，如果每台电脑每月租金不高于100元，可全部租出；如果每台电脑租金高于100元，那么每提高10元将有5台电脑闲置为了提高公司的经济效益，该公司需要拟定一个最佳月租价格，这个价格必须满足：为了便于核算，月租价定为 10 元的整数倍；由于公司的开支(如员工工资，水电费等)每
11、月需要 6250 元，电脑出租收入必须高于此，而且高出得越多越好(1)把该公司的每月净收入 y(即收入减支出)表示为每台电脑月租金 x 元的函数，并求出其定义域；(2)求每台电脑的月租金 x 为多少时，公司的净收入 y 最大，并求出最大值解：(1)由已知每台电脑每月租金为 x 元，当 x 100 时，租出 电 脑台 数为 100(x10010)515012x，yx(15012x)625012x2150 x6250.当 x100 时，y100 x6250，由 100 x62500，得 x62.5.由 15012x0，得 x300，由12x2150 x62500，得 x2300 x125000，5
12、0 x250，又 x 是 10 的整数倍综上可知 70 x250 且 x10Z，y100 x625070 x100，且 x10Z，12x2150 x6250100 x250，且 x10Z.它的定义域为x|70 x250，且 x10Z(2)若 x100，则当 x100 时，y100 x6250有最大值 y13750 元，当 100 x250 时，y12(x150)25000，当 x150 时，y 最大5000 元50003750，当 x150 元时，y 最大5000 元当租金为 150 元时，公司净收入最大，最大值为 5000 元指数函数模型 指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增
13、长率相结合进行考查在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用2010年10月1日，某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)(1.012101.127)【思路分析】先写出1年后、2年后、3年后的人口总数写出y与x的函数关系计算求解作答例2【解】(1)1 年后该城市人口总数
14、为y1001001.2%100(11.2%)2 年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3 年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x 年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.所以该城市人口总数 y(万人)与年数 x(年)的函数关系式是y100(11.2%)x.(2)10 年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万)所以 10 年后该城市人口总数为 112.7 万【名师点评】做此题首先要知道年自然增长率今年人口数去年人口数去年人口数分式函数模型 分式函数模型多数和基本
15、不等式有关，也常用导数知识加以解决如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？例3【解】设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为 x20，y252，其中 x20，y25.两栏面积之和为 2(x20)y25218000，由此得 y18000 x2025，广告的面积 Sxyx(18000 x2025)18000 xx20 25x，整理得 S360000 x20 25(x20)
16、18500.因为 x200，所 以S2 360000 x20 25x20 18500 24500.当且仅当360000 x20 25(x20)时等号成立，此时有(x20)214400(x20)，解得 x140，代入 y18000 x2025，得 y175，即当 x140，y175 时，S 取得最小值 24500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小【名师点评】利用基本不等式求函数最值要注意：把函数解析式凑配成适合基本不等式的形式；应用基本不等式时要注意满足“一正，二定，三相等”变式训练 2 某隧道长 2150 m，通过隧道的车速不能超过 20 m/s.一列有
17、 55 辆车身长都为 10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为 x m/s，根据安全和车流的需要，当 0 x10 时，相邻两车之间保持 20 m 的距离；当 10 x20 时，相邻两车之间保持(16x213x)m 的距离自第 1 辆车车头进入隧道至第 55辆车尾离开隧道所用的时间为 y(s)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度(31.73)解：(1)当 0 x10 时，y2150105520551x3780 x，当 10 x20 时，y2150105516x213x551x 27
18、00 x 9x18，所以，y3780 x 0 x102700 x 9x18 10 x20(2)当 x(0,10时，在 x10 时，ymin378010 378(s)当 x(10,20时，y2700 x9x181829x2700 x18180 3329.4(s)，当且仅当 9x2700 x，即 x17.3(m/s)时取等号因为 17.3(10,20，所以当 x17.3(m/s)时，ymin329.4(s)，因为 378329.4，所以，当车队的速度为 17.3(m/s)时，车队通过隧道时间 y 有最小值 329.4(s)拟合函数 利用拟合函数解决应用性问题的基本过程为：收集数据画函数图选择函数模
19、型求出函数模型用函数模型解决实际问题某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc(其中a、b、c为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由例4【解】设二次函数为 f1(x)a1x2b1xc1.由 f1(1)1，f1(2)1.2，f1(3)1.3，得a1b1c11，4a12b1c11.29a13b1c11.3.，解得 a10.05，b10.35，c10.7，f1(x)0.05x2
20、0.35x0.7.由 f2(x)abxc，得f21abc1f22ab2c1.2，f23ab3c1.3解得 a0.8，b0.5，c1.4.f2(x)0.80.5x1.4.r1|f1(4)1.37|0.07，r2|f2(4)1.37|1.351.37|0.02，r2r1，f2(x)比 f1(x)的误差较小，所以 f2(x)0.80.5x1.4 作为模拟函数较好【名师点评】本题把实际应用问题和函数模型相结合，通过分析函数图象判断选用哪一个函数模型，利用待定系数法确定函数的解析式变式训练3 某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供
21、大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p、q均为常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(2)若f(0)4，f(2)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是0,5其中x0表示4月1日，x1表示5月1日，以此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月份内价格下跌解：(1)应选f(x)x(xq)2p.因为f(x)pqx 是单调函数；f(x)px2qx1 的图象不具有先升再降后升的特征；f(x)x(xq)2p 中，f(x)3x24qx
22、q2，令 f(x)0，得 xq，xq3，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间(2)由 f(0)4，f(2)6 得4p，622q2p，解之得p4，q3，(其中 q1 舍去)f(x)x(x3)24，即 f(x)x36x29x4(0 x5)(3)由 f(x)0，解得 1x3，函数 f(x)x36x29x4 在区间(1,3)上单调递减，这种水果在 5 月，6 月份价格下跌方法技巧应用函数知识解应用题的方法步骤(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类；(2)用相关的函数知识，进行
23、合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解；(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答方法感悟 失误防范1实际问题中的函数和一般的函数有一个明显的区别，就是在实际问题中，函数的定义域一般不是由函数解析式确定的，而是由问题的实际意义确定的2解函数应用问题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面(2)在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件作为对考生能力和素质的检验，江苏高考加强了对函数综合应用的考查力度，如2010年高考江苏卷第14题，对函数的实际应用问题的考查，这类题目更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活预测在2012年的
24、江苏高考中，函数的实际应用问题仍将是考查的重点考向瞭望把脉高考 考情分析(2010 年高考江苏卷)将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S梯形的周长2梯形的面积，则 S的最小值是_例真题透析【解析】设剪成的小正三角形的边长为 x.则 S 3x234 34 x24 33 3x21x2(0 x1)，S4 33 6x220 x61x22 8 33 3x1x31x22，令 S0，得 x13或 x3(舍去)即 x13是 S 的极小值点且是最小值点Smin4 33 313211932 33.【答案】32 33【名师点评】实际应用问题关键是找出变量涉及的函数关系式，
25、其次根据函数的类型选择准确的求解方法此类问题需要掌握有关的题型及常见解法现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是_vlog2t vlog12tvt212v2t21今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 名师预测 解析：由表中数据可知，当 t 越大时，v 递增的速度越快，而 vlog2t 递增速度较慢，vlog12t 递减，v2t2 匀速，只有 vt212符合这一特征答案：2某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低3
26、0元给予优惠，如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为_解析：设按出厂价 y 元购买 x 套(x50)应付 a 元，则 axy，又 a(y30)(x11)，又 x1150，即 x39，39x50，xy(y30)(x11)，3011xy30，又 x、yN*且 39x50，x44，y150，a441506600 元答案：6600元3为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y(116)ta(a 为常数)，如图所示
27、根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_(小时)，学生才能回到教室解析：(1)由图可设 ykt(0t 110)，把点(0.1,1)分别代入 ykt 和 y(116)ta，得 k10 a0.1，y10t 0t 110 116t0.1 t 110.(2)由(116)t0.10.25，得 t0.6.答案：(1)y10t 0t 110 116t0.1 t 110(2)0.64江苏舜天足球俱乐部准备为救助失
28、学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数ylg2x，则这三种门票的张数分别为_万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大解析：该函数模型 ylg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a、b、c，则abc2.4，ab0.6，x3a5b8c，代入有 x19.2(5a3b)19.22 15ab13.2(万元)，当且仅当5a3bab0.6 时等号成立，解得 a0.6，b1，所以 c0.8.由于 ylg2x为增函数，即此时 y 也恰有最大值故三种门票的张数分别为 0.6、1、0.8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大答案：0.6、1、0.8本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用