1、第二章解三角形3 解三角形的实际应用举例内 容 标 准学 科 素 养1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部或顶部不可到达的物体高度测量的问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.3.能够根据题意建立数学模型，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，画出示意图，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.深化数学建模加强数形结合提升数学运算注重函数方程01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 测量中的常用概念知识梳理 1.基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的
2、_叫做基线(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的_，使测量具有较高的_一般来说，基线越长，测量的精确度越_线段基线长度精确度高2坡角与坡度坡面与_所成的二面角叫做坡角，坡面的铅直高度与_之比叫做坡度，如图所示，为坡角，坡比 ihltan.水平面水平宽度3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和_视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示)4铅直平面铅直平面是指与水平面_的平面目标垂直知识点二 角度的有关概念思考并完成以下问题1如何用方向角的含义表示下列两图中的 m角与 n角？提示：图的 m角描述为北偏西 m，图的 n角描述为南
3、偏东 n.2下列两图中的 130角与 200角是什么含义？提示：图的方位角为 130；图的方位角为 200.知识梳理 1视角观察物体的两端，视线张开的_叫做视角，如图所示夹角2方位角与方向角(1)方位角从正北方向_转到目标方向线所成的水平角如点 B 的方位角为，如图所示方位角的取值范围为_顺时针0360(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于_的水平角如南偏西 60，指以_方向为始边，顺时针方向_旋转 60，如图所示90正南向西思考：结合教材P58例1，你认为求距离问题的关键是什么？提示：(1)基线的选取要恰当(2)选定或创建的三角形要确定(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定自我检测1海
4、上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C岛间的距离是()A10 3 海里B.10 63海里C5 2 海里D5 6 海里解析：如图，C180607545，AB10.由正弦定理，得10sin 45 BCsin 60，解得BC5 6(海里)故选D.答案：D2(2019临汾高一检测)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为()A(3030 3)m B(3015 3)mC(1530 3)m D(1515 3)m解析：在PAB中，PAB30，AP
5、B15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 6 24.由正弦定理得：PBsin 30 ABsin 15，PB12606 2430(6 2)，树的高度为PBsin 4530(6 2)22(3030 3)m.答案：A3在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时风向是北偏东30，风速是20 km/h，水的流向是正东，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h.解析：如图，AOB60.由余弦定理，得OC220220222020cos 1201 20
6、0，故OC20 3，COY303060.答案：60 20 3探究一 测量距离问题 阅读教材P58例1及解答题型：测量距离(长度)问题方法步骤：抽象到ABC中；求内角BAC606206620；利用余弦定理求出BC的长例1 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，与学生前进方向成30角，学生前进200 m后到达点B，测得该参照物与前进方向成75角(1)求点A与参照物C的距离；(2)求河的宽度解题指南 根据图形，先由已知求出ACB，再利用正弦定理求得AC的长度，最后在直角三角形中求出河的宽度解析(1)由已知，得ABC105，ACB1803010545.在AB
7、C中，由正弦定理，得 200sin 45ACsin 105，所以AC200sin 105sin 45100(31)(m)，即点A与参照物C的距离为100(31)m.(2)河的宽度为ACsin 30100(31)1250(31)(m)，即河的宽度为50(31)m.方法技巧 测量距离问题的类型测量距离问题分为三种类型：两点间不可到达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达，解决此类问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解如图，点B为不可到达点，求A，B的距离的具体解题步骤是：(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；(2
8、)测量AC，BAC，BCA；(3)利用正弦定理解ABC，得ABACsin Csin B ACsin Csin（180AC）.跟踪探究 1.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75的方向上，距离为12 6 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30的方向上，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到到D处时，再看灯塔B在北偏东120的方向，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离解析：(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理，得ADABsin BsinADB 12 6 223224(n mile)即A处与D处的距离为24 n mile.(2)在ADC中，由余弦
9、定理，得CD2AD2AC22ADACcos 30，解得CD8 3(n mile)即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.探究二 测量高度问题 阅读教材P58例2及解答题型：测量高度问题方法步骤：在BCD中求出角BD1C1120；求C1BD115；由正弦定理求出BC1(18 26 6)m；利用三角函数定义求出A1B186 3.求出烟囱高ABA1BA1A29.89(m)例2 如图，地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，AB20 m，在A点测得P点的仰角OAP30，在B点测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度h(结果精确到1 m)解题指南 旗杆OP垂直
10、于地面，所以AOP和BOP都是直角三角形，则用h表示OA，OB；在AOB中，可利用余弦定理构造方程，求出旗杆的高度h.解析 在RtAOP中，OAOP1tan 30 3h，在RtBOP中，OBOP1tan 45h，在AOB中，根据余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(3h)2h22 3hh12，所以h2 4004 3176，得h13，所以旗杆的高度约为13 m.延伸探究 1.(1)在本例中，若将条件“AOB60”改为“AOB0”，则结论如何？(2)在本例中，若将条件“AOB60”改为“AOB180”，则结论如何？解析：(1)如图，在ABP中，APB15，由正弦定理，得B
11、Psin OAPABsin APB，所以BPABsin OAPsin APB 20sin 30sin 15 10(6 2)(m)在RtBOP中，OPBPsin 4510(6 2)22 27(m)，所以此时旗杆的高度约为27 m.(2)如图，在RtAOP中，OAhtan 30 3h.在RtBOP中，OBhtan 45h，由OAOBAB，得 3hh20，所以h20317(m)，所以此时旗杆的高度约为7 m.方法技巧 测量高度问题的解题思路对于底部不能到达或者无法直接测量的物体高度问题，常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题这类物体高度的测量
12、是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所测量物体的高度如图所示其一般步骤总结为跟踪探究 2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 m，在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.解题指南 先在RtABC和RtABD中，用AB表示BC和BD，再在BCD中，由余弦定理建立方程，求得AB.解析：在RtABC中，ACB45，设ABh，则BCh，在RtABD中，ADB30，则BD3h.在BCD中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDco
13、sCBD，即2002h2(3 h)22h3 h32，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200 m.探究三 测量角度问题 阅读教材P62A组第3题如图为一角槽示意图，已知ABAD，ABBE，并量得AB85 mm，BC78 mm，AC32 mm，则_，_(精确到0.1)解析：在ABC中，AB85，BC78，AC32，由余弦定理得cos AAC2AB2BC22ACAB32285278223285 0.397 9，所以A66.5，所以23.5.cos BBC2BA2AC22BCBA78285232227885 0.926 5.所以B22.1，所以67.9.答案：23.5 67.9例3 某渔轮在航
14、行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间解题指南 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，再解三角形解析 如图所示，根据题意可知AC10，ACB120.设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120，即212
15、t210281t22109t12，整理，得360t290t1000，解得t23或t 512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB14，BC6.在ABC中，由正弦定理，得BCsinCABABsinACB，所以sinCABBCsinACBAB6 32143 314，即CAB21.8.故舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需23 h才能靠近渔轮延伸探究 2.本题中其他条件不变，将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10 n mile/h”，将“我海军舰艇的速度”改为“10 3 n mile/h”，求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间解析：如图所示，设所需时间
16、为t h，则AB10 3t，CB10t.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即(10 3t)2102(10t)221010tcos 120，整理，得2t2t10，解得t1或t12(舍去)舰艇需1 h靠近渔轮此时AB10 3，BC10.在ABC中，由正弦定理，得BCsinCABABsinACB，所以sinCABBCsinACBAB10 3210 3 12.所以CAB30，所以舰艇航行的方位角为304575，靠近渔轮需要1 h.方法技巧 解决测量角度问题的注意点(1)明确方位角和方向角的含义；(2)分析题意，明确已知条件和所求问题，并根据题意画出正确的示意图，这是最
17、关键的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用体现了数形结合与方程的数学思想方法跟踪探究 3.地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30的方向，且距离他40 3 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离解题指南 画出图形，在三角形中，利用正弦定理求出内角的大小以及边的长度，从而确定相应的方位角以及距离解析：如图，在PAB中，PAB30，PA40 3 m，AB40 m.由余弦定理，得PBAB2PA22ABPAcosPAB402（40 3）224040 3cos 3
18、040(m)因为AB40 m，所以ABPB，所以APBPAB30，所以PBA120.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为18012060，且目标参照物P与他的距离为40 m.课后小结(1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别(2)空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题(3)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：分析：理解题意，分清已知与未知，
19、画出示意图；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解素养培优对实际情况理解偏差致误如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/m
20、in，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？易错分析 解此类问题一般会用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的关系方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁尤其第(2)问中求“乙在缆车上与甲的距离最短”，“甲出发2 min”后乙才出发，都是不可忽视的关键所设变量时间t是以甲为主还是以乙为主，又会带来不一样的运算过程考查数学建模、数形结合，函数与方程思想，提升数学
21、运算能力自我纠正(1)在ABC中，因为cos A1213，cos C35，所以sin A 513，sin C45，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 513351213456365.由正弦定理 ABsin C ACsin B，得AB ACsin Bsin C1 2606365451 040(m)，所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理，得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)由于0t1 040130，即0t8，因此当t3537时，乙在缆车上与甲的距离最短课时跟踪训练