1、4.1 平面向量的概念及线性运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 4.1 平面向量的概念及线性运算双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1向量的有关概念名称 定义 备注 向量 既有大小又有_的量；向量的大小叫作向量的_(或模)零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 与向量a_，且长度为单位1的向量叫作a方向上的单位向量 平行(共线)向量 方向_或_的非零向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等、方向相同的向量 0的相反向量为0 相反向量 长度相等、方向_的向量 方向长度同方向相同相反相反2.向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两
2、个向量的和的运算 _法则 _法则(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_ 减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫作a与b的差 _法则 三角形平行四边形baa(bc)三角形向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 数乘 求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|.(2)当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a0(a)()a，()aaa；(ab)_.相同相反ab3向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得_，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理：若向量 b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得_.baba思考感悟ab是ab(R)的什
3、么条件？提示：ab是ab(R)的必要条件(1)当ab(R)时，由数乘的几何意义知ab成立(2)当a0，b0时，ab成立，而不存在R使ab成立答案：B课前热身1若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF OF OE B.EF OF OEC.EF OF OED.EF OF OE2(2009年高考湖南卷)对于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：A3如图，向量ab等于()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2答案：C答案：(1)(2)(3)4.(教材习题改编)已知向量 e1 与
4、e2 不共线，则下列向量中：(1)a6e1，b5e1；(2)a4e13e2，b20e115e2；(3)a13e112e2，b4e16e2；(4)ae1e2，b3e13e2.a 与 b 共线的是_5设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，则e1e2_a_b.答案：23 13考点探究挑战高考 考点突破 向量的有关概念准确理解向量的基本概念是解这类题目的关键共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，才是相等的向量共线向量或相等向量均与向量起点无
5、关给出下列六个命题：向量 AB的长度与向量 BA的长度相等；向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量 A B与向量 CD是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()例1A2 B3C4 D5【思路点拨】理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可【解析】真命题；假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，共
6、线向量所在直线可以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段【答案】C【名师点评】本例中多个命题的真假判断需逐一进行，而且要求准确无误，特别注意特殊情况，如命题中忘记考虑零向量命题中向量平行混同于解析几何中的直线平行用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解向量的线性运算(1)(2010 年高考大纲全国卷)ABC 中，点 D 在边 AB 上，C
7、D 平分ACB，若CB a，CAb，|a|1，|b|2，则CD()A.13a23bB.23a13bC.35a45bD.45a35b例2(2)(2009年高考湖南卷)如图所示，D、E、F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()AA DB ECF0BBDCFDF0CADC ECF0DBDB EFC0(3)(2009 年高考宁夏、海南卷)已知点 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|O A|O B|O C|，N ANBN C0，P AP BP BP CP CP A，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心【思路点拨】利用向量
8、的线性运算，三角形的性质及向量的几何意义可得结论【解析】(1)如图，CD 平分ACB，由角平分线定理得ADDBACBC|b|a|2，所以AD 2DB 23AB，所以CD CA AD CA 23AB CA 23(CB CA)23CB 13CA 23a13b.(2)AD 12AB，BE 12BC，CF 12CA，AD BECF 12(AB BC CA)12(AC CA)1200，故选 A.(3)由|OA|OB|OC|知，点 O 到三角形 ABC 三顶点的距离相等，所以点 O 为该三角形的外心；由NA NB NC 0NA NB NC，所以由向量的平行四边形法则可知，向量NC 经过三角形 AB 边的中
9、点，从而NC 是三角形的一条中线，同理 NA，NB 也是三角形的中线，故点 N 为三角形的重心；由PA PB PB PC PB(PAPC)0，即PBCA 0PBCA 同理PABC，PC AB，即点 P 为该三角形的垂心故选C.【答案】(1)B(2)A(3)C【名师点评】解决此类问题关键要熟练掌握运算法则，并善于用基本向量表示其余所涉及到的向量，表示的方法是依据三角形法则或平行四边形法则，构造含有表示所求向量的有向线段的三角形或平行四边形变式训练1 ABC 中，AD23A B，DEBC 交 AC 于 E，BC边上的中线 AM 交 DE 于 N.设 A Ba，ACb，用 a、b 表示向量 AE、B
10、 C、DE、DN、AM、AN.解：D EB CAD23A B AE23A C23b，B CA CA Bba.由ADEABC，得 D E23B C23(ba)又 AM 是ABC 的中线，DEBC，得 DN12D E13(ba)AMA BBMa12B Ca12(ba)12(ab)ADNABMAD23ABAN23AM13(ab)(1)(2009年高考北京卷)已知向量a、b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向共线向量定理的应用例3(2)(2011 年亳州质检)已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，AC ab(、
11、R)，那么 A、B、C 三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1【思路点拨】(1)分 k1 和 k1 两种情况进行分析判断；(2)利用共线向量定理，欲证 A、B、C三点共线，只需找到一个，使AB AC 即可【解析】(1)ckab，dab，cd，综合四个选项，当 k1 时，可知 c 不平行 d；当 k1 时，c 与 d 反向，故选 D.(2)由AB ab，AC ab(、R)及 A、B、C 三点共线得：AB tAC，所以 abt(ab)tatb，即可得t，1t，所以 1.故选 D.【答案】(1)D(2)D【规律小结】(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共
12、线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线变式训练 2 已知非零向量 e1 和 e2 不共线(1)如果 ABe1e2，BC2e18e2，CD3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值解：(1)证明：ABe1e2，BDB CCD2e18e23e13e25(e1e2)5AB，A B、BD共线又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线(2)ke1e2 与 e1ke2 共线，存在 使 ke1e2(e1ke2)
13、，则(k)e1(k1)e2.由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，解得 k1.方法技巧1将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础(如例2(1)2首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量(如例1)3通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别(如例3)方法感悟1关于两个向量的和应注意的几个问题(1)两个向量的和仍是一个向量；(2)使用三角形法则时要注意“首尾相连”；(3)当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用失误防范2向量减法运算应注
14、意的两个问题(1)向量的减法实质是加法的逆运算；差仍为一个向量(2)用三角形法则作向量减法时，记住“连接两个向量的终点，箭头指向被减向量”3向量的数乘运算(1)向量数乘的特殊情况：当0时，a0；当a0时，也有a0.(2)实数和向量可以求积，但不能求和、求差(3)熟练掌握向量线性运算的运算规律是正确化简向量算式的关键，要正确区分向量数量积与向量数乘的运算律考情分析 考向瞭望把脉高考 向量的线性运算，共线问题是高考的热点，尤其向量的线性运算出现频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属于中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和向量基本定理交汇命题预测2012年高考仍
15、将以向量的线性运算、向量的基本概念为主要考点，重点考查向量加、减的三角形法则及平行四边形法则命题探源(2009 年 高 考 安 徽 卷)在 平 行 四 边 形ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC AE AF，其中，R，则 _.例【思路点拨】解决此题的目的是如何求出，的值，关键是选择好平面向量的一组基底，把等式AC AE AF 的左右两边都用基底中的两个不共线向量来表示，然后由平面向量的基本定理中的实数 1，2 的唯一性得关于，的一组方程，从而可解得，的值【解析】法一：选择AB，AD 作为平面向量的一组基底，则AC AB AD，AE 12AB AD，AF AB 12
16、AD，于是得121，121，解得23，23，所以 43.故填43.法二：另外，此题用数形结合的方法去解决可能更快捷如图所示：设 G、H 分别为 AB、AD 的中点，连接 CG、CH，分别交 AF、AE 于点 M、N，则 M、N 分别是ABC，ADC 的重心，则|AM|23|AF|，|AN|23|AE|，所以AC 23AE 23AF，故 23，43.【答案】43【名师点评】(1)本题易失误的是：没有熟练掌握向量加法的意义，把AE 或AF 表示错；不理解向量的数乘结果仍是向量；找不到解决本题的突破口，不知如何下手，难以发现AC、AE、AF 间的联系(2)本题主要考查了向量的线性运算和平面向量的基本
17、定理向量加法的运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是本题运算的主要依据作为平面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的基本定理是往年高考考查的重点，值得关注名师预测1如图所示，已知AB a，AC b，BD 3DC，用a、b 表示AD，则AD 等于()Aa34 bB.14a34bC.14a14bD.34a14b解析：选 B.AD AB BD AB 34BC a34(ba)14a34b.2设非零向量 a，b，c，若 p a|a|b|b|c|c|，则|p|的取值范围是()A0,1 B0,2C0,3 D3,3解析：选 C.a，b，c 为非零向量，p 是三个单位向量的和，当三个向量同向时，|p|
18、max3，而|p|0，故选 C.3设 a，b 是两个不共线向量，已知 AB2akb，C Bab，CD2ab，若 A、B、D 三点共线，则 k_.答案：4解析：C Bab，CD2ab，BDCDC B(2ab)(ab)a2b.A、B、D 三点共线，ABBD，2akb(a2b)a2b.又 a，b 是两个不共线向量2k2，k4.4如图，平面内有三个向量 OA、OB、OC，其中OA与 O B的夹角为 120，OA与 O C的夹角为 30，且|O A|O B|1，|O C|2 3，若 OCOA OB(，R)，则 的值为_答案：6解析：过 C 作 O A与 OB的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由BOC90，AOC30，|O C|2 3，得平行四边形的边长为 2 和 4，故 246.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用