1、专题能力训练13空间中的角及动态问题(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.2.(2015浙江杭州第二次高考科目教学质量检测,文6)已知ABC-A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱,M是B1C1的中点,那么下列命题中正确的是()A.在棱AB上存在点N,使MN与平面ABC所成的角为45B.在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45C.在棱AC上存在点N,使MN与AB1平行D.在棱BC上存在点N,使MN与AB1垂直3.(2015浙江杭州二
2、中仿真考,文8)过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点与直线BD1所成角为40,且与平面ACC1A1所成角为50的直线条数为()A.1B.2C.3D.无数4.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为的球面上,AB=AC=,AA1=2,则二面角B-AA1-C的余弦值为()A.-B.-C.D.5.在平面四边形ABCD中,AD=AB=,CD=CB=,且ADAB,现将ABD沿着对角线BD翻折成ABD,则在ABD折起至转到平面BCD内的过程中,直线AC与平面BCD所成的最大角的正切值为()A.1B.C.D.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱B1C1的中点,动点P在
3、底面ABCD内,且PA1=A1E,则点P运动形成的图形是()A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分7.在空间中,过点A作平面的垂线,垂足为B,记B=f(A).设,是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=ff(P),Q2=ff(P),恒有PQ1=PQ2,则()A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的(锐)二面角为45C.平面与平面平行D.平面与平面所成的(锐)二面角为60二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2015浙江第一次五校联考)已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD=2,则直线AD与底面BCD所成角为.9.(2015浙江金华十校模拟
4、(4月),文13)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,AA1=4,AB=6,则异面直线B1D与AC1所成角的余弦值为.10.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列三个命题:DBC是等边三角形;ACBD;三棱锥D-ABC的体积是;AB与CD所成的角是60.其中正确命题的序号是.11.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:三棱锥A-D1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是.三、解答题(本大题共3小题,共
5、45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)证明:平面AEF平面B1BCC1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥F-AEC的体积.13.(本小题满分15分)(2015浙江大学附中,文18)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为边长为2的菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E是BC的中点,PA=AB.(1)证明:AEPD;(2)若F为PD上的动点,求EF与平面PAD所成最大值的正切值.14.(本小题满分1
6、6分)(2015浙江杭州第二中学高三仿真,文18)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为ABC=的菱形,PA平面ABCD,点Q在直线PA上.(1)证明:直线QC直线BD;(2)若二面角B-QC-D的大小为,点M为BC的中点,求直线QM与AB所成角的余弦值.参考答案专题能力训练13空间中的角及动态问题1.B解析:如图所示,取AD的中点F,连接EF,CF,则EFBD,于是异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角CEF.由题意知ABC,ADC为正三角形,设AB=2,则CE=CF=,EF=BD=1.在CEF中,由余弦定理,得cosCEF=.故选B.2.B解析:如图所示,连接A1M和AM,因为
7、AA1平面A1B1C1,A1M平面A1B1C1,所以AA1A1M.设AA1=2a,则A1B1=A1C1=B1C1=2a,因为M是B1C1的中点,所以A1MB1C1.所以A1M=a.在RtAA1M中,tanAMA1=1,所以AMA145.所以在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45.故选B.3.B解析:取DD1的中点P,A1C1的中点为O1,AC的中点为O2,O1O2的中点为O,连接OP和PO2,则OP平面ACC1A1,PO2BD1.在平面ACC1A1内,以点O为圆心,半径为画圆,则点P与此圆上的点的连线满足:过DD1的中点P,且与平面ACC1A1所成的角为50,所以满足与P
8、O2所成角为40的直线PQ有且只有2条.故选B.4.D解析:设B1C1=m,由已知有BAC即为二面角B-AA1-C的平面角,设BAC=,如图:有=2r=2,即m=2sin ,由余弦定理有m2=3+3-2cos ,4sin2=6-6cos ,从而可得(cos -1)(2cos -1)=0.0,cos =.二面角B-AA1-C的余弦值为.5.C解析:如下图,OA=1,OC=2.当AC与圆相切时,直线AC与平面BCD所成角最大,最大角为30,其正切值为.6.B解析:由PA1=A1E知点P应落在以A1为球心,A1E长为半径的球面上.又知动点P在底面ABCD内,所以点P的轨迹是面ABCD与球面形成的交线
9、,故为圆弧,所以选B.7.A解析:设P1=f(P),P2=f(P).由条件中的新定义知:PP1,P1Q1,PP2,P2Q2,故PP1P2Q2,PP2P1Q1,PP1P1Q2,PP2P2Q1,可知点P,P1,P2,Q1,Q2五点共面,记为平面,可得,.当时,PP2PP1,此时四边形PP1Q2P2为矩形,PP2P2Q2,故Q1与Q2重合,满足题意,A正确;B中取正方体的一个底面及与其成45的一个体对角面,则当PQ1=1时,PQ2=,不成立;C中取正方体的一组相对的面,明显有PQ1=1,PQ2=0,不成立;D中与B类似,当PQ1=时,PQ2=,不成立,故选A.8.解析:取BC中点E,连接AE,DE,
10、则BCAE,BCDE,BC平面ADE.ADE即为直线AD与平面BCD所成的角,易得AD=DE=AD=.ADE=,即直线AD与平面BCD所成角为.9.解析:取A1B1的中点E,连接AE,C1E,因为四边形AA1B1B是矩形,D是AB的中点,所以ABA1B1.所以ADEB1.所以四边形AEB1D是平行四边形.所以AEDB1.所以EAC1就是异面直线B1D与AC1所成角.在三角形AEC1中,AE=5,AC1=2,EC1=3,所以cosEAC1=.10.解析:设ACBD=O,根据图可知BD=DO=1,再由BC=DC=1,可知DBC是等边三角形;由ACDO,ACB
11、O,可得AC平面DOB,从而有ACBD;三棱锥D-ABC的体积=SABCOD=11;过点O作OEAB,OFCD,则EOF(或补角)为所求角,在OEF中可解得EOF=120,故AB与CD所成的角为60.因此应填“”.11.解析:由题意可得直线BC1平行于直线AD1,并且直线AD1平面AD1C,直线BC1平面AD1C,所以直线BC1平面AD1C.所以.点P到平面AD1C的距离不变,所以体积不变.即是正确的;连接A1C1,A1B,可得平面AD1C平面A1C1B.又因为A1P平面A1C1B,所以A1P平面ACD1.所以正确;当点P运动到B点时DBC1是等边三角形,所以DP不垂直BC1.故不正确;因为直
12、线AC平面DB1,DB1平面DB1,所以ACDB1.同理可得AD1DB1.所以可得DB1平面AD1C.又因为DB1平面PDB1,所以可得平面PDB1平面ACD1.故正确.综上,可知正确的序号为.12.(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.(2)解:设AB的中点为D,连接A1D,CD.因为ABC是正三角形,所以CDAB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1,于是CA1D为直线A1C与平面
13、A1ABB1所成的角.由题设,CA1D=45,所以A1D=CD=AB=.在RtAA1D中,AA1=,所以FC=AA1=.故三棱锥F-AEC的体积V=SAECFC=.13.(1)证明:四边形ABCD为菱形,且ABC=60,ABC为正三角形.又E为BC中点,AEBC.又ADBC,AEAD.PA平面ABCD,又AE平面ABCD,PAAE.AE平面PAD.又PD平面PAD,AEPD.(2)解:连接AF,由(1)知AE平面PAD,AFE为EF与平面PAD所成的角.在RtAEF中,AE=,AFE最大当且仅当AF最短,即AFPD时AFE最大,依题意,此时在RtPAD中,PAAD=PDAF,AF=,tanAFE=.EF与平面PAD所成最大角的正切值为.14.(1)证明:显然BDAC,PA平面ABCD,则PABD,所以BD平面PAC.因为QC平面PAC,所以直线QC直线BD.(2)解:由已知和对称性可知,二面角B-QC-A的大小为,设底面ABCD的棱长为单位长度2,AQ=x,AC,BD交于点E,则有点B到平面AQC的距离BE为1,过点E作QC的垂线,垂足设为F,则有tanBFE=tan,BE=1,则EF=,点A到QC的距离为,则有=2x,得x=.过点M作AB的平行线交AD的中点为G,则GM=2,QG=,AM=,则QM=,cosQMG=.故所求的QM与AB所成角的余弦值为.10