1、2.12 导数的应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.12 导数的应用双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1导数与函数的单调性 导数 单调性 如果在某个区间内，函数yf(x)导数_ 则在这个区间上，函数yf(x)单调递增 导数_ 则在这个区间上，函数yf(x)单调递减 f(x)0 f(x)0 思考感悟1若函数f(x)在(a，b)上单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件2函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其
2、附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就 说 f(x0)是 f(x)的 一 个_，记作_极大值与极小值统称为_ 极大值y极大值f(x0)极小值y极小值f(x0)极值(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是_极大值极小值思考感悟 2导数为零的点一定是极值点吗？提示：对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即yf(x)在x0处取得极值必有f(x0)0，但反过来不成立如f(x)x3，则f(x)
3、3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点，事实上f(x)x3在R上单调递增，另一方面对于可导函数f(x)，若f(x)在x0的两侧异号，则xx0必是f(x)的一个极值点3函数的最值函数f(x)在a，b上必有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值连续不断思考感悟3极值与最值有何区别与联系？提示：极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数
4、在区间内的单调性(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是极值点课前热身 1(教材习题改编)函数f(x)x3axb在区间(1,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，则()Aa1，b1 Ba1，bR Ca3，b3Da3，bR 答案：D 2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案：D 3若函数yex mx有极值，则实数m的取值范围是()Am0B m 0 C m 1D m 1 解析：
5、选B.yex m，函数yex mx有极值，则函数yex mx在定义域内不单调，m 0.4(原创题)函数f(x)xlnx的单调递增区间是_ 解析：据题意fxlnx10 x0，得 x1e.答案：(1e，)5(教材习题改编题)已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.答案：32考点探究挑战高考 考点突破 利用导数研究函数的单调性 此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现应注意函数yf(x)在区间(a，b)上可导，则f(x)0是函数yf(x)在(a，b)上递增的充分条件，并非充要
6、条件(2009年高考安徽卷)已知函数f(x)x2x1alnx，a0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 a3，求 f(x)在区间1，e2上的值域，其中 e2.71828是自然对数的底数例1【思路点拨】对(1)，先求导，再将导函数转化为二次函数问题，最后通过对二次函数的讨论解决问题；对(2)，由(1)作为基础，(2)的求解就变成了增函数、减函数在定区间上的最值问题，求解即得【解】(1)f(x)的定义域是(0，)，导函数 f(x)1 2x2axx2ax2x2.设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.当 0 即 0a0 都有f(x)0.此时 f(x)是(0，)上的单调递增
7、函数当 0即 a2 2时，仅对 x 2有 f(x)0，对其余的 x0 都有 f(x)0.此时 f(x)也是(0，)上的单调递增函数当 0 即 a2 2时，方程 g(x)0 有两个不同的实根 x1a a282，x2a a282，0 x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时 f(x)在(0，a a282)上单调递增，在(a a282，a a282)上单调递减，在(a a282，)上单调递增(2)当a3时，方程g(x)0有两个不同的实根x11，x22.由(1)知，在1，e2内，当x2时f(x)取得极值，f(1)0，f(2)2
8、3ln2，f(e2)e22e25.因为f(2)f(1)f(e2)，所以f(x)在区间1，e2上的值域为23ln2，e22e25【误区警示】本题对综合能力要求较高，在考场解答中容易出现以下问题：(1)求导失误不少考生在第一步出现计算上的错误，而导致失分考场上作答时，即使到了最后也要沉着应战，把该拿的分拿到手(2)求导后不能准确转化为二次函数去讨论，而 是 陷 入 分 式 函 数 的 复 杂 讨 论 中 不 能 自拔解决这一点需要有较强的观察能力以及平时解决复杂问题的基本数学功底，这样才能保证在考场上的发挥(3)对第(1)问解答，影响着第(2)问的求解错误的发生就是因为第(1)问解答的失误，导致第
9、(2)问得出错误结果 利用导数研究函数的极值 求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值(2010年高考安徽卷)设函数f(x)sinxcosxx1,0 x2，求函数f(x)的单调区间与极值【思路点拨】列表讨论f(x)与f(x)的变化情况求单调区间与极值【解】由f(x)sinxcosxx1,0 x2，知f(x)cosxsinx1，例2于是 f(x)1 2
10、sinx4.令 f(x)0，从而 sinx4 22，得 x，或x32.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，)与32，2，单调递减区间是，32，极小值为 f32 32，极大值为 f()2.【名师点评】可导函数的极值点必须是导数 为 0 的 点，导 数 为 0 的 点 不 一 定 是 极 值点可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0的左侧与右侧的f(x)的符号不同不可导的点也可能是极值点 变式训练 1(2009 年高考山东卷)已知函数f(x)13ax3bx2x3，其中 a0.(1)当 a，b 满足什么条件时，f(x
11、)取得极值？(2)已知 a0，且 f(x)在区间(0,1上单调递增，试用 a 表示出 b 的取值范围解：(1)由题意知，f(x)ax22bx1，当(2b)24a0 时，f(x)无极值，当(2b)24a0，即 b2a 时，f(x)ax22bx10 有两个不同的解，即x1b b2aa，x2b b2aa，因此 f(x)a(xx1)(xx2)当a0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值当a0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值 综上所述，当a，b满足b2a时，f(x)能取得极值
12、(2)由题意知 f(x)ax22bx10 在区间(0,1上恒成立，则 bax2 12x，x(0,1设 g(x)ax2 12x，x(0,1当 1a(0,1，即 a1 时，g(x)ax2 12x 2 a4 a，等号成立的条件为 x 1a(0,1，g(x)最大值g1a a，因此 b a.当 1a1，即 0a1 时，g(x)a212x21ax22x2 0，g(x)最大值g(1)a212a12，所以 ba12.综上所述，当 a1 时，b a；当 0a1 时，ba12.利用导数求函数的最值 求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值
13、与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2010年高考重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值【思路点拨】(1)由g(x)是奇函数可得关于a，b的方程，进而求得a，b的值(2)利用g(x)讨论g(x)的单调性，进而可求得极值，把g(x)的极值和在1,2上的端点值比较可求得最值例3【解】(1)由题意得 f(x)3ax22xb.因此 g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数 g(x)
14、是奇函数，所以 g(x)g(x)，即对任意实数 x，有 a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而 3a10，b0，解得 a13，b0，因此 f(x)的解析式为 f(x)13x3x2.(2)由(1)知 g(x)13x32x，所以 g(x)x22，令 g(x)0，解得 x1 2，x2 2，则当 x 2或 x 2时，g(x)0，从而g(x)在区间(，2，2，)上是减函数；当 2x 2时，g(x)0，从而g(x)在 2，2上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在 x1,2，2 时取得，而 g(1)53，g(2)4 23，g(2)43
15、.因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g(2)4 23，最小值为g(2)43.【名师点评】求在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点处的函数值进行比较，就可判定最大(小)值生活中的优化问题 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点(2009 年高考湖南卷)某地建一座桥，两端的桥墩已
16、建好，这两墩相距 M 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为 y 万元例4(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【思路点拨】对(1)，先设辅助未知数，再确定函数关系；对(2)，利用导数求出最优解【解】(1)设需新建 N 个桥墩，则(N1)xM，即 Nmx1，所以 yf(x)256N(N1)(2 x)x256(mx1)mx(2 x)x256x MM x2M256(0 x
17、M)(2)由(1)知，f(x)256mx2 12Mx12 m2x2(x32512)令 f(x)0，得 x32512，所以 x64.当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 Nmx164064 19.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小【误区警示】本题作为一道中档题，在求解中容易出现如下问题：(1)没有理解问题中各个量之间的正确关系，而导致函数关系式出错；(2)由于本题导函数较为复杂，求解函数的导函数时容易出错；(3)求解应用题没有总结 变式训练2(2010年高考湖北卷)
18、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cM)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解：(1)设隔热层厚度为 x cM，由题设，每年能源消耗费用为 C(x)k3x5，再由 C(0)8，得k40，因此 C(x)403x5.而建造费用
19、为 C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10)(2)f(x)6 24003x52，令 f(x)0，即24003x526，解得 x5，x253(舍去)当 0 x5 时，f(x)0，当 5x10 时，f(x0，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 80015570.当隔热层修建 5 cM 厚时，总费用达到最小值70 万元方法感悟 方法技巧1注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想(如例2变式)2求极值时，要步骤规范表格齐全，含参数
20、时要讨论参数的大小 3极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值(如课前热身3)4在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较(如例4)失误防范1利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间(2)在对
21、函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点(3)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件 2研究函数f(x)的极值是通过检验f(x)在方程f(x)0的根的左、右函数值的符号来判定的，因此难点是如何判定这个根左、右函数f(x)值的符号，并与函数f(x)的极大值、极小值对应化解的方法是列出x、f(x)、f(x)变化的图表，得到f(x)在每个区间上的符号，即可得到函数对应的极大值、极小值函数极值的另一个难以理解的问题是极大值、极小值的大小关系，即函数的极大值不一定比 极 小 值 大，极 小 值
22、也 不 一 定 比 极 大 值小突破这一难点的方法是正确理解极值是一个局部的概念，可以通过画出函数在整个定义域上的图像，对比图像进行分析判断 3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论 4要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识 考情分析 考向瞭望把脉高考 从近两年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性、极值、最值以及生活中的优化问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性或方程、不等式的综合应用 预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单
23、调性、极值、最值为主要考向，同时也应注意利用导数解答生活中的优化问题 真题透析 例(本题满分 12 分)(2010 年高考山东卷)已知函数 f(x)lnxax1ax 1(aR)(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当 a12时，讨论 f(x)的单调性【解】(1)当 a1 时，f(x)lnxx2x1，x(0，)，所以 f(x)x2x2x2，x(0，)，因此 f(2)1，2 分即曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 1.又 f(2)ln22，所以曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln22)x2，即 xyln204 分(2)因为 f
24、(x)lnxax1ax 1，所以 f(x)1xaa1x2ax2x1ax2，x(0，).5 分令 g(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增.7分当a0时，由f(x)0，即 ax2x1a0，解得 x11，x21a1.8 分A当 a12时，x1x2，g(x)0 恒成立，此时 f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减.9 分B当 0a12时，1a11，x(0,1)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；x1，1a1
25、时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递增；x1a1，时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减.10 分C当 a0 时，由于1a10，x(0,1)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递增综上所述：当 a0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当 0a12时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在1，1a1 上单调递增，在1a1，上单调递减.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：忽视定义域的限制；分类
26、依据不明确，分类讨论时“重”或“漏”；不能合理运用导数知识解题，思路受阻(2)函数的导数与其单调性之间的关系可以从以下三个方面理解：在某个区间(a，b)上，若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f(x)0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则 f(x)0，其 逆 命 题 不 成 立，因 为f(x)0包括f(x)0或f(x)0，当f(x)0时，函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，当f(x)0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数y
27、f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，其逆命题不成立使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性 已知函数 f(x)2axa21x21(xR)，其中 aR.当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间与极值名师预测 解：f(x)2ax212x2axa21x2122ax2xax212，令 f(x)0，得到 x1a，x21a.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)在区间(，a)，1a，内为增函数，在区间a，1a 内为减函数函数 f(x)在 x1a 处取得极大值 f(a)，且 f(a)1；函数 f(x)在 x21a处取得极小值 f1a，且f1a a2.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
