1、2.7 二次函数、幂函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.7 二次函数、幂函数双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1二次函数的三种表示形式(1)一般式：_(2)顶点式：若二次函数图像的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)_(3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则 其 解 析 式 为 f(x)_ f(x)ax2bxc(a0)a(xk)2h(a0)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图像和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，图像过原点，且在0，)上为增函数，当2时，f(x)在 t，t1上是增函数，
2、g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而 g(t)t22t7t2.(2)g(t)的图像如图所示g(t)的最小值为8.【规律小结】二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在闭区间上的最值讨论：当 a0 时，f(x)在区间p，q上的最大值为 M，最小值为 M，令 x012(pq)(1)若 b2ap，则 f(p)m，f(q)M；(2)若 p b2ax0，则 f(b2a)m，f(q)M；(3)若 x0 b2aq，则 f(p)M，f(b2a)m；(4)若 b2aq，则 f(p)M，f(q)m
3、.当 a0 时，f(x)在p，q上的最大值与上述最小值讨论一致，而最小值类似上述最大值讨论互动探究2“已知函数f(x)x22ax2，求f(x)在5,5上的最大值”，如何解答？解：f(x)x22ax2，x5,5，对称轴xa.(1)当a5时，函数f(x)在5,5上单 调 递 增，如 图 1，故 f(x)max f(5)52 2a522710a.(2)当5a0，即05，即a0，2710a a0.方法感悟 方法技巧1二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式和两根式根据已知条件灵活选用(如例1)2二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系，因此单调性的判断通常用数形结合法来判断(如例3)3幂函数yx(
4、R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准 应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1，yx22x等都不是幂函数(如例2)4在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图像愈靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴 5求二次函数在给定区间上的最值(值域)，其关键是判断二次函数图像顶点的横坐标(或对称轴)与所给区间的关系，然后结合二次函数的图像，利用数形结合的思想来解决问题(如例3)失误防范1幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象
5、限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点 2幂函数的定义域的求法可分5种情况：为零；为正整数；为负整数；为正分数；为负分数 3作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图像 4利用幂函数的图像和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法 考情分析 考向瞭望把脉高考 本节主要考查二次函数图像的应用、二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的
6、参数问题、幂函数的图像及性质等其中二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现 预测在2012年高考中以二次函数为命题落脚点的题目仍将是一个热点，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想(2010 年高考大纲全国卷)设 alog32，bln2，c125，则()Aabc BbcaCcabDcba真题透析 例【解析】alog32ln2ln3ln2b，又 c125 1512，alog32log3 312，因此 cab，故选 C.【答案】C【名师点评】(1)本题易出现以下失误：解题方向不明确，简单问题复杂化，如将a换底为以10为底的对数；比较大小时不会寻找合适的“
7、中间量”(2)这类题目各版本的课本中都有出现，如北师版第126、127页均有，只是考题对其作了变化，使得考题增加了能力的成份且综合性更强(3)比较两个幂值和两个对数值大小的方法：若是两个幂值的大小的比较，则首先分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可以利用指数函数的单调性；如果指数相同，可以转化为底数相同，也可以借助图像；如果底数不同，指数也不同，就要利用“中间量”进行比较 若是两个对数值的大小比较，如果底数相同，可以利用对数函数的单调性；如果底数不相同，可以利用换底公式化为同底数的对数；如果底数、真数都不相同，就要注意与0或1或其他“中间量”比较1设 1,1，13，2，则使函数 yx 的定
8、义域为 R 且为奇函数的所有 的值为()A1,1 B1，13C1，13D1,1，13名师预测 解析：选 C.在函数 yx1，yx，y13x，yx2 中，只有函数 yx，y13x定义域为 R 且为奇函数，所以 1，13.2函数f(x)4x2Mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析：选 A.由题意，知m82，M16，f(1)9M25.3二次函数 f(x)ax2bxc 的图像的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则 abc 等于()A6 B11C14D.14解析：选 C.函数图像的顶点为(4,0)，f(x)a(x4)2.又过点(0,2)，a18，f(x)18x2x2.于是可得 b1，c2，abc14，故选 C.4已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,4)，且f(x)在区间1,5上的最大值是12，则f(x)的解析式为_ 解析：设f(x)ax2bxc(a0)，由f(x)0的解集是(0,4)，可知f(0)f(4)0，且二次函数的图像开口向下，对称轴方程为x2，再由f(x)在区间1,5上的最大值是12，可知f(2)12.即 f00f40f212，解得a3b12c0，f(x)3x212x.答案：f(x)3x212x本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用