1、江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题时间：120分钟 满分：160分 参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差：，其中为样本平均数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题纸相应位置上1 命题“，”的否定是 2抛物线的准线方程为 3 在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为4若复数 ()是纯虚数，则= 5 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，
2、则应从乙车间抽产品数量为 6. 右图是一个算法流程图，则输出S的值是7 .已知曲线 在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为8. 一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 9. 已知等比数列中，有成立类似地，在等差数列中，有_成立10为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面不同的安排方法共有种（用数字作答）11 “”是“方程表示椭圆”的_条件（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不
3、充分也不必要”）12. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是13. 椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足，则的范围是 14. 函数,其导函数为，则= 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）设p：复数在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数在R上有极大值点和极小值点各一个求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围16. （本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，后画出如下
4、部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.17. （本小题满分14分）对于一切，等式恒成立（1）求的值；（2）用数学归纳法证明上面等式18. （本小题满分16分） 如图，是边长为3的正方形，与平面所成角为（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论19. （本小题满
5、分16分） 已知椭圆E: ,以抛物线的焦点为顶点,且离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：与轴交于点N，直线AF与BN交于点M.()求证：点M恒在椭圆C上； ()求AMN面积的最大值20. （本小题满分16分）已知函数，设（1）求函数的单调区间；(2）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象在恰有两个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）答题纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共
6、计70分请把答案填写在答题纸相应位置上1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）0.031000.0250.0150.0059080706050组距频率分数16. （本小题满分14分）17. （本小题满分14分）18. （本小题满分16分）19. （本小题满分16分）20. （本小题满分16分）江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）参考答案与评分标准一、填空题：二、解答题：15. 解：复数在复平面上对应的
7、点在第二或第四象限， ，即或. 5分 函数在R上有极大值点和极小值点各一个， 有两个不同的解，即0. 由0，得m1或m4 10分要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题， 12分 的取值范围为 14分16.解: （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：3分所以低于60分的人数为（人）.5分（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），频率和为 所以，抽样学生成绩的优秀率是%8分.于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%9分.（3）“成绩低于50分”及“50,60)”的人数分别是6,9所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的
8、概率为： 14分17. 解：(1)将代入等式得：解得：6分（2）由（1）得，下面用数学归纳法证明：当n=1时，左边=,右边=，等式成立；8分假设nk时等式成立，即则nk1时，即nk1时等式成立. 12分由知，等式成立. 14分 18. (1)证明： 因为平面，,所以.2分因为是正方形，所以，又，从而平面.4分（本小题也可用空间向量以算代证，参照给分）(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，5分所以.由可知，. 6分则 所以 7分设平面的法向量为，则，即，令，则. 8分因为平面，所以为平面的法向量，所以. 9分所以二面角的正弦值为.10分(3)解：点是线段
9、上一个动点，设.则，因为，所以，12分即，解得. 14分此时，点坐标为，符合题意. 16分19. 解：(1)因为抛物线的焦点为,又椭圆以抛物线焦点为顶点,所以椭圆E的方程为 4分(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0) 设，则，.AF与BN的方程分别为：设，则有由上得，6分由于，所以点M恒在椭圆C上10分所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+). 4分（2）由得恒成立,即恒成立6分因为当时，取得最大值0，所以，所以，的最小值为0. 9分（3）若的图象与函数的图象在恰有两个不同交点，即在有两个不同的根，亦即两个不同的根. 11分令，则，.13分当x变化时G/(x)、G（x）的变化情况如下表：x1（1,2）2（2,e）eG/(x)的符号+0-G（x）由上表知：,又，所以，当时，所以，当时，的图象与函数的图象在恰有两个不同交点16分12