1、2.5 指数与指数函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.5 指数与指数函数双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1实数指数幂 n ammna1nma10无理数指数幂 0的负无理数次幂无意义 0的正无理数次幂为0 运算性质 aman_(a0，m，nR)(am)namn(a0，m，nR)(ab)n_(a0，b0，nR)amnanbn思考感悟分数指数幂与根式有何关系？提示：分数指数幂是根式的另一种写法，二者可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算2指数函数的图像与性质yax a1 0a0时，_；当x0时，0y0时，0y1当x1y1增函数减函数 课前热身 1(教材习题改编)化简321
2、()4(2.8)0127(1)90.12的结果为()A100 B.8038C.7978D.4034答案：B 2.右图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1dc 答案：B 3(2011年江门调研)若函数y(a23a3)ax为指数函数，则有()Aa1或2 Ba1Ca2 Da0且a1答案：C4方程 4x2 116的解是_答案：x4 5已知 a2 32，函数 f(x)ax，若实数m，n 满足 f(m)n考点探究挑战高考 考点突破 指数的运算 进行指数运算时，要化负指数为正指数，化根式
3、为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题 化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)131311424222(23)(23)4()xxxxx；(2)5 a613 b2(3a12b1)21332(4.)a b；(3)(279)0.50.122310(2)27303748.例1【思路点拨】题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合再创设条件去求【解】(1)原式131112242222(2)(3)44xxxxx111 113222 2112243444274423 xxxxx(2)原式121336325(4)2abab113363213225
4、()454 ababab54 1ab35 ab4ab2.(3)原式=1225()9 1 11022364()273374853100 91633748100.【失误点评】对于结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，则结果用根式的形式表示，如果题目是以分数指数幂的形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂变式训练1 化简指数函数的图像与性质 性质是对图像的刻画，图像是对性质的直观反映，通过图像可进一步加强对性质的记忆和理解，利用指数函数的图像和性质可解决与指数函数相关的单调性，函数值大小比较、解方程和解不等式等问题例2已知 2x2x(
5、14)x2，求函数 y2x2x 的值域【思路点拨】由y2x的单调性可得到关于x的一元二次不等式求得x的范围，进而可求得函数y2x2x的值域【解】22124xxx()22xx x242x，x2x42xx23x40，4x1.y2x(12)x 为 R 上的减函数，y2x 为 R 上的增函数，y2x2x 在4,1上为增函数，函数 y2x2x 的值域为151516，32【规律小结】指数函数yax(a1)为单调增函数，在闭区间s，t上存在最大、最小值，当xs时，函数有最小值as；当xt时，函数有最大值at.指数函数yax(0a1)为单调减函数，在闭区间s，t上存在最大、最小值，当xs时，函数有最大值as；
6、当xt时，函数有最小值at.变式训练 2 求函数 y2 341()2xx的定义域、值域并求其单调区间解：要使函数有意义，则只需x23x40，即 x23x40，解得4x1，函数的定义域为x|4x1令 tx23x4，则tx23x4(x32)2254，当4x1 时，tmax254，此时 x32，Tmin0，此时 x4 或 x1，0t254，即 0 x23x452.函数 y2 341()2xx的值域为 28，1由 tx23x4(x32)2254(4x1)可知，当4x32时，t 是增函数当32x1 时，t 是减函数根据复合函数的单调性知：y2 341()2xx在4，32上是减函数，在32，1上是增函数指
7、数函数的综合应用 含有指数的复合函数问题大多数都以综合的形式出现，如与其他函数(特别是二次函数)综合形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容综合形成的各类综合问题等解答这类问题时，正确使用性质，合理运算是关键环节(2011 年淮北联考)设函数 f(x)a2xa22x1为奇函数求：(1)实数 a 的值；(2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性；(3)求满足：f(1m)f(1m2)0 的实数 M的取值范围例3【思路点拨】由f(x)f(x)恒成立可得a的值；第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可；第(3)问利用单调性脱掉“f”可求得M的取值范围【解】(1)法一：f(x)是定义域
8、在 R 上的奇函数，f(x)f(x)，a2xa22x1a2xa22x1，2(a1)(2x1)0，a1.当x1x2时，2x12x2，f(x2)f(x1)，f(x)在R上是增函数(3)由f(1m)f(1m2)0，得f(1m)f(1m2)f(m21)，1mm21，即m2m20，解得m2或m1.m的取值范围为(，2)(1，)【名师点评】解决与指数函数有关的综合问题时，除用好相关知识及相关问题的处理方法外，同时，要适时地用好指数函数的图像与性质方法感悟 方法技巧1在进行分数指数幂与根式的运算时，通常将根式转化为分数指数幂，利用分数指数幂运算法则进行化简(如例 1)2解简单的指数不等式时，当底数含参数，且
9、底数的大小不确定时，要对底数分大于 1与大于零小于 1 两种情况进行讨论，即 af(x)ag(x)fxgx，a1fxgx，0a13单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线当0a1，x时，y0；当a1，x时，y0；当a1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快失误防范1指数函数yax(a0，a1)的图像和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究 2对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围 考情分析 考向瞭望把脉高
10、考 从近几年的高考试题来看，本节内容在高考中地位并不非常突出整个命题过程源于教材，又高于教材，主要侧重以下几点：指数幂的运算法则，指数函数的单调性，以及与指数函数有关的综合问题等题型主要是选择题、填空题，难度中低等 预测2012年高考仍会以指数函数某一性质为核心，结合其他知识，把问题延伸为主要考查点，重点考查应用知识解决问题的能力 真题透析 例(2009 年 高 考 山 东 卷)函 数 y exexexex的图像大致为()【解析】ye2x1e2x112e2x1，当 x0时，e2x10 且随着 x 的增大而增大，故 y12e2x11 且随着 x 的增大而减小，即函数 y 在(0，)上恒大于 1
11、且单调递减，又函数 y 是奇函数，故选 A.【答案】A【名师点评】(1)本题易错的是：忽视函数的定义域；所给函数比较复杂，不能将函数式进行合适的化简变形；函数的单调性判断错误(2)本题是教材练习“已知函数 f(x)2x12x1，试讨论函数 f(x)的单调性”的改编题，考题的函数变得复杂了，并且函数单调性问题变成了利用函数单调性讨论函数图像问题，使考题提高了对能力的要求名师预测 1若x0且axbx1，则下列不等式成立的是()A0ba1 B0ab1 C1baD1ab 解析：选B.由指数函数的图像特征可知，底数a，b均大于0且小于1，再通过特殊值检验可知选B.2函数 yxax|x|(0a0ax，x0
12、 时，函数是一个指数函数，其底数 0a1，所以函数递减，排除 A、B 项；当 x0 时，函数图像与指数函数 yax 的图像关于 x 轴对称，函数递增，故选 D.3方程9x63x70的解是_ 解析：令t3x，则原方程可化为t26t70，解得t7或t1(舍)，即3x7，xlog37.答案：xlog37 4若直线 axby20(a0，b0)和函数f(x)ax11(a0 且 a1)的图像恒过同一个定点，则当1a1b取最小值时，函数 f(x)的解析式是_解析：函数 f(x)ax11(a0 且 a1)的图像恒过点(1,2)，故12ab1，1a1b(12ab)(1a1b)32ba a2b32 2，当且仅当 b 22 a 时等号成立，将 b 22 a 代入12ab1，得 a2 22，故 f(x)(2 22)x11.答案：f(x)(2 22)x11本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
