1、1.3两条直线的位置关系1两条直线平行(1)两条不重合直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2(b1b2)，若l1l2，则k1k2；反之，若k1k2，则l1l2(如下图)(2)如果l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90，从而它们互相平行或重合2两条直线垂直一般地，设直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.若l1l2，则k1k21；反之，若k1k21，则l1l2.特别地，对于直线l1：xa，直线l2：yb，由于l1x轴，l2y轴，所以l1l2.1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为1与2，斜率分别为k1与k2，若l1l2，1与2之间有什么关系？k1与k2之
2、间有什么关系？答案1与2之间的关系为12；对于k1与k2之间的关系，当1290时，k1k2，因为12，所以tan1tan2，即k1k2.当1290时，k1与k2不存在2若直线l的方程为AxByC0(A，B不同时为0)，则与l平行的直线方程有什么特征？与l垂直的直线方程呢？答案与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByC10(C1C)与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC10.3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1k2，则l1l2.()(2)若两条直线l1l2，则k1k2.()(3)若两条直线l1l2，则k1k21.()(4)若两条直线
3、l1、l2的斜率k1、k2满足k1k21，则l1l2.()答案(1)(2)(3)(4)题型一 两条直线平行的判定及应用【典例1】(1)求过点(1,2)且与直线2xy10平行的直线方程；(2)已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，求m的值思路导引直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2，有l1l2解(1)已知直线的斜率是2，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是2.根据点斜式，得所求直线的方程是y22(x1)，即2xy40.(2)已知直线的斜率为2，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是2.由斜率公式得2，解得m8.(1)已知两直线平行，求方程中的参数值时，
4、通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A1B2A2B1且B1C2B2C1进行求解(2)求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况(3)与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)题型二 两条直线垂直的判定及应用【典例2】(1)求过点P(1，1)且与直线2x3y10垂直的直线方程；(2)若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点(2,1)、斜率为的直线垂直，求实数a的值思路导引若l1与l2斜率存在，l1l2k1k21.解(1)直线2x3y10的斜率为，所求直线与已知直线
5、2x3y10垂直，所求直线的斜率k满足k1，即k.由点斜式方程，得y(1)(x1)，即3x2y50.(2)直线l的斜率为.两直线互相垂直，1，a.(1)判断两直线是否垂直的方法若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1l2A1A2B1B20判断；若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1l2k1k21判断；若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断(2)已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k1k21建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A1A2B1B20求解(3)与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.题型三 平
6、行与垂直关系的综合应用【典例3】已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状思路导引分别求kAB，kBC，kCD，通过斜率的关系判定四边形ABCD形状解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定(2)
7、由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形针对训练3已知ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.1直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则直线l的方程是 ()A2x3y50B2x3y80C3x2y10D3x2y70解析设直线l的方程为3x2yc0，将点
8、(1,2)代入得34c0，c1，直线l的方程为3x2y10，故选C.答案C2经过两点A(2,3)，B(1，x)的直线l1与直线l2yx1平行，则实数x的值为()A0B6 C6D3解析直线l1的斜率k1，由题意可知1，x6.答案C3以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形解析kAB，kAC，kABkAC1，ABAC，A为直角答案C4若直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行，则a_. 解析因为l1l2，所以a221，且2a2，解得a1，所以a1时两直线平行答案1课后作业(二十)(时
9、间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1过点M(3,2)，且与直线x2y90平行的直线方程是()A2xy80Bx2y70Cx2y40Dx2y10解析设所求直线方程为x2ym0，直线过点M(3,2)322m0，m1，直线方程为x2y10.答案D2直线l1、l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是 ()A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析设方程x23x10的两根为x1、x2，则x1x21.直线l1、l2的斜率k1k21，故l1与l2垂直答案D3直线l垂直于直线yx1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0解析解法一：因为直线l
10、与直线yx1垂直，所以设直线l的斜率为1，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为yx，即xy0.解法二：将直线yx1化为一般式xy10，因为直线l垂直于直线yx1，可以设直线l的方程为xyc0，令x0，得yc，又直线l在y轴上截距为，所以c，即c，所以直线l的方程为xy0.答案A4若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，则a的值为()A1 B C D2解析由题意，得(1)1，a2.答案D5已知A(1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则ABC的BC边上的高所在直线方程为()Axy0 Bxy20Cxy20Dxy0解析kBC1，高所在直线斜率为1，方程为y11(x1)，即xy20.答案B6已
11、知A(2,0)，B(3，)，直线lAB，则直线l的倾斜角为_解析kAB，由直线lAB，则kl，l的倾斜角为60.答案607若直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直，则a_.解析由题意可知，kl12a1，kl24.l1l2，4(2a1)1，解得a.答案8与直线l：yx1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为_解析根据题意知直线l的斜率k，故直线l1的斜率k1，设直线l1的方程为yxb1，则令y0得它在x轴上的截距a1b1.a1b1b1b1b11，b13.直线l1的方程为yx3.答案yx39求m、n的值，使直线l1：y(m1)xn7满足：(1)平行于x轴；(2)平行于直线l
12、2：7xy150；(3)垂直于直线l2：7xy150.解(1)当m1且n7时，l1平行于x轴(2)7xy150化为斜截式：y7x15，当l1l2时，应有m17且n715，所以m8，n8.(3)当(m1)71，即m，nR时，l1l2.10已知直线l的方程为x2y10，点P的坐标为(1，2)(1)求过P点且与直线l平行的直线方程；(2)求过P点且与直线l垂直的直线方程解(1)设过P点且与直线l平行的直线方程为x2ym0，则12(2)m0，即m3，所以过P点且与直线l平行的直线方程为x2y30.(2)设过P点且与直线l垂直的直线方程为2xyn0，则21(2)n0，即n4，所以过P点且与直线l垂直的直
13、线方程为2xy40.应试能力等级练(时间25分钟)11直线xa2y60和直线(a2)x3ay2a0没有公共点，则a的值是()A1B0C1D0或1解析两直线无公共点，即两直线平行，13aa2(a2)0，a0或1或3，经检验知a3时两直线重合答案D12已知直线x3y70，kxy20与x轴，y轴围成的四边形有外接圆，则实数k等于()A3B3C6D6解析因四边形有外接圆，且x轴与y轴垂直，则直线x3y70和kxy20垂直，k1，解得k3.答案B13已知ABC的顶点B(2,1)，C(6,3)，其垂心为H(3,2)，则其顶点A的坐标为()A(19，62)B(19，62)C(19,62)D(19,62)解析
14、设A(x，y)，由已知，得AHBC，BHAC，且直线AH，BH的斜率存在，所以即解得即A(19，62)答案A14若三条直线2xy40，xy50和2mx3y120围成直角三角形，则m_.解析设l1：2xy40，l2：xy50，l3：2mx3y120，l1不垂直于l2，要使围成的三角形为直角三角形，则l3l1或l3l2.由l3l1得2m1，m；由l3l2得1m1，m.答案或15已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点(1)求点D，使直线CDAB，且BCAD；(2)判断此时四边形ACBD的形状解(1)如右图，设D(x，y)，则由CDAB，BCAD可知得解得即D点坐标为(0,1)(2)kAC，kBD，kACkBD，ACBD.四边形ACBD为平行四边形而kBC2，kBCkAC1.ACBC.四边形ACBD是矩形又CDAB，四边形ACBD是正方形
